a: Xét ΔABC có

G là trọng tâm

AM là đường trung tuyến

Do đó: \(GM=\dfrac{1}{3}AM\)

mà GM=MN và AM=MD

nên \(MN=\dfrac{1}{3}MD\)

=>MN=1/2ND

b: Xét ΔDBC có

DM là đường trung tuyến

\(DN=\dfrac{2}{3}DM\)

Do đó: N là trọng tâm của ΔDBC

Xét ΔDBC có

N là trọng tâm của ΔDBC

CN cắt BD tại K

Do đó: K là trung điểm của BD

a: Ta có: \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)(hai góc đồng vị, MN//BC)

\(\widehat{ANM}=\widehat{ACB}\)(hai góc đồng vị, MN//BC)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(ΔABC cân tại A)

nên \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)

=>ΔANM cân tại A

b: Xét ΔANB và ΔAMC có

AN=AM

\(\widehat{NAB}\) chung

AB=AC

Do đó: ΔANB=ΔAMC

=>NB=MC

d:

Ta có: AM+MB=AB
AN+NC=AC
mà AM=AN và AB=AC

nên MB=NC

Xét ΔMBC và ΔNCB có

MB=NC

BC chung

MC=NB

Do đó: ΔMBC=ΔNCB

=>\(\widehat{MCB}=\widehat{NBC}\)

=>\(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

=>IB=IC

=>I nằm trên đường trung trực của BC(1)

ta có: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra AI là đường trung trực của BC

=>AI\(\perp\)BC

a: Số hàng bán được trong ngày 2 là \(\dfrac{5}{6}x\)(thùng)

b: Số hàng bán được trong ngày 3 là x+8(thùng)

Số hàng bán được trong 3 ngày là:

\(x+\dfrac{5}{6}x+x+8=\dfrac{17}{6}x+8\left(thùng\right)\)

c: Số hàng bán được trong 3 ngày là:

\(\dfrac{17}{6}\cdot8+8=8\cdot\dfrac{23}{6}=\dfrac{4}{3}\cdot23=\dfrac{92}{3}\left(thùng\right)\)

9 máy cày cày xong cánh đồng trong:

\(4\cdot63:9=28\left(giờ\right)\)

Gọi số máy cày của các đội một, đội hai, đội ba lần lượt là: 

      \(x;y;z\) (máy cày); \(x;y;z\) \(\in\) N*

Theo bài ra ta có: 

\(x.4\) = y.12 = z.6;    \(x+y+z\) = 24 (1)

\(x\) = \(\dfrac{12y}{4}\) = 3y

z = \(\dfrac{12y}{6}\) = 2y

Thay \(x=3y\); z = 2y vào biểu thức (1) ta có:

3y + y + 2y  = 24

        6y = 24

          y  = 24 : 6

          y = 4

\(x\) = 4.3 = 12

z = 4.2 = 8

Kết luận: Đội một, đội hai, đội ba lần lượt có số máy cày là: 12 máy cày, 4 máy cày, 8 máy cày. 

64 công nhân xây một ngôi nhà trong số ngày là:

     (40x168):64=105 (ngày)

Vậy 64 công nhân xây một ngôi nhà trong 105 ngày.

64 công nhân xây xong ngôi nhà trong:

\(40\cdot168:64=105\left(ngày\right)\)

56 công nhân xây xong ngôi nhà trong:

\(35\cdot168:56=105\left(ngày\right)\)

56 công nhân xây một ngôi nhà hết số ngày là:

     (35x168):56=105 (ngày)

Vậy 56 công nhân xây một ngôi nhà hết 105 ngày.