Trên tia AM lấy I sao cho AM = MI => AI = 8 cm

Ta có tứ giác ABIC có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên ABIC là hình bình hành

=> AB = IC = 6 cm. Xét tam giác ACI có AC^2 = AI² + CI²

Nên tam giác ACI vuông tại I. Ta có S(ABIC) = 2 S(AIC) = AI . CI = 48 (cm2)

suy ra S(ABC) = 1/2 S(ABIC) = 24 (cm²)

Bài 1 : 

Áp dụng Cô - si ta có :
\(\frac{a+1}{b^2+1}=\left(a+1\right)-\frac{\left(a+1\right)b^2}{b^2+1}\le\left(a+1\right)-\frac{\left(a+1\right)b^2}{2b}\)\(=\left(a+1\right)-\frac{ab+b}{2}\)

Tương tự ta cũng có : \(\frac{b+1}{c^2+1}\le\left(b+1\right)-\frac{bc+c}{2};\frac{c+1}{a^2+1}\le\left(c+1\right)-\frac{ca+a}{2}\)

Cộng vế theo vế ta được: 

\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\)\(\ge a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\)

\(\ge6-\frac{ab+bc+ca+3}{2}\)

Mặt khác ta có BĐT : \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow ab+bc+ca\le3\)

Do đó : \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\)

Dấu " = "  xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)

Bài 2 : 

a) Ta có : \(MI=MA,QI=QD\)nên \(MQ\)là đường trung bình \(\Delta AID\) 

\(\Rightarrow MQ//AD\)

Tương tự NP là đường trung bình của \(\Delta BIC\)

\(\Rightarrow NP//BC\)

Do đó : \(NMQ=BAD=NPQ\)nên tứ giác MPNQ nội tiếp

b ) Kẻ \(OH\perp AB\)tại H và \(OK\perp CD\)tại K

Ta có : \(AB\perp CD\)

\(\Rightarrow OHIK\)là hình chữ nhật

Do đó \(AB^2+CD^2=4\left(BH^2+CK^2\right)=4\left(R^2-OH^2+R^2-OK^2\right)\)

\(=4\left(2R^2-OI^2\right)\)

Diện tích tứ giác MPNQ là : \(\frac{MN.PQ}{2}=\frac{AB.CD}{8}\le\frac{\left(AB+CD\right)^2}{16}=\frac{2R^2-OI^2}{4}\)không đổi

GTLN của diện tích tứ giác MNPQ là : \(\frac{2R^2-OI^2}{4}\), khi đó \(AB=CD\)

Chúc bạn học tốt !!!