a/ Áp dụng định lý Pytago:

\(\frac{AC^2+CB^2-BA^2}{CB^2+BA^2-AC}=\frac{AK^2+KC^2+\left(BK^2++CK^2\right)-AB^2}{\left(BK+CK\right)^2+BA^2-\left(AK+KC\right)^2}\)

\(=\frac{2CK^2+2BK.CK}{2BK^2+2BK.CK}=\frac{2CK\left(CK+BK\right)}{2BK\left(BK+CK\right)}=\frac{CK}{BK}\)

b ) Ta có : 

\(\tan B=\frac{AK}{BK}\) ; \(\tan C=\frac{AK}{CK}\)

Nên \(\tan B.\tan C=\frac{AK^2}{BK.CK}\left(1\right)\)

Mặt khác ta có : \(B=HKC\)mà : \(tanHKC=\frac{KC}{KH}\)

Nên \(\tan B=\frac{KC}{KH}\)tương tự \(tanC=\frac{KB}{KH}\)

\(\Rightarrow\tan B.\tan C=\frac{KB.KC}{KH^2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(\tan B.\tan C\right)^2=\left(\frac{AK}{KH}\right)^2\)

Theo bài ra có : \(HK=\frac{1}{3}AK\Rightarrow\tan B.\tan C=3\)

c ) c/ Ta chứng minh được: 2 tam giác ABC và ADE đồng dạng nên : 

\(\frac{S_{ABC}}{S_{ADE}}=\left(\frac{AB}{AD}\right)^2\left(3\right)\)

Mà góc BAC = 60 ⁰ nên \(\widehat{ABD}=30^0\) 

\(\Rightarrow AB=2AD\left(4\right)\)

Từ (3) và (4 ) ta có : \(\frac{S_{ABC}}{S_{ADE}}=4\Rightarrow S_{ADE}=30\left(cm^2\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!

bạn nghịch đảo lên sau đó đặt ẩn phụ là giải được

Gọi khoảng cách giữa hai bản A và B là x (km)

Vận tốc của người đi bộ là y (km/h)

Điều kiện: x > 0; y > 0

Người đi ngựa cả đi và về hết 1 giờ 40 phút =53=53 giờ nên người đi ngựa đi từ A đến B hết 53:2=5653:2=56 giờ.

Vận tốc của người đi ngựa bằng x:56=65xx:56=65x (km/h)

Thời gian người đi bộ đi hết quãng đường AB là xyxy giờ

Người đi ngựa đến trước 50 phút =56=56 giờ, ta có phương trình:

xy−56=56⇔3x=5yxy−56=56⇔3x=5y         (1)

Từ (1) ⇒ 6x=10y⇔65x=2y.6x=10y⇔65x=2y. Điều này có nghĩa là vận tốc người đi ngựa gấp đôi người đi bộ nên vận tốc người đi ngựa là 2y (km/h).

Từ lúc đi đến lúc gặp nhau người đi bộ đi được x – 2 (km), người đi ngựa đi được x + 2 (km).

Vì từ lúc đi đến lúc gặp thời gian hai người bằng nhau, ta có phương trình:

x−2y=x+22y⇔2x−4=x+2x−2y=x+22y⇔2x−4=x+2

Ta có hệ phương trình:

{3x=5y2x−4=x+2⇔{3x=5yx=6⇔{3.6=5yx=6⇔{x=6y=3,6{3x=5y2x−4=x+2⇔{3x=5yx=6⇔{3.6=5yx=6⇔{x=6y=3,6

x = 6 và y = 3,6 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy khoảng cách giữa hai bản là 6km

Vận tốc người đi bộ là 3,6 km/h

Vận tốc người đi ngựa là 7,2 km/h

Gọi khối lượng quặng loại thứ nhất là x tấn ,loại thứ 2 là y tấn ,x>0 ; y>0

ta có hệ phương trình :\(\hept{\frac{\frac{72}{100}x+\frac{58}{100}y=\frac{62}{100}\left(x+y\right)}{\frac{72}{100}\left(x+15\right)+\frac{58}{100}\left(y+15\right)=\frac{63,25}{100}\left(x+y+30\right)}}\)

hay : \(\hept{\begin{cases}5x-2y=0\\5\left(x+15\right)=3\left(y+15\right)\end{cases}}\)

giải hệ phương trình ta đc: (x;y) =(12;30)

vậy khối lượng loại thứ nhất là 12 tấn , loai thứ 2 là 30 tấn