Mình học lớp 8 nên vẫn chưa biết "Min" là gì vậy bạn?

\(S=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\)

\(=a^2+\frac{1}{a^2}+b^2+\frac{1}{b^2}+4\)

Dễ có:\(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\ge\frac{2}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{8}{\left(a+b\right)^2}=8\)

Khi đó:\(S\ge\frac{1}{2}+8+4=\frac{25}{2}\)

Vậy ta có đpcm

Tiếng Anh: ( 15sp cho 1 người )

 Fill in each blank with the appropriate forms of the word in bracket.

1. There is a collection of books on the shelf. (collect)

2. It is very inconvinient  for people in remote areas to get to hospitals. (convenience)

3. He is very skillful with his hands. (skill)

4. It is said that water collected from the local streams is safe to drink. (safe)

5. I to eat healthy, so I eat a lot of fruits and vegetables every day. (health)

Theo AM - GM cho 3 số dương: \(\frac{1}{ab\left(a+b\right)}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)(*)

Tiếp tục sử dụng AM - GM, ta được: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\frac{8\left(a+b+c\right)^3}{27}\le\frac{8}{27}\)(do \(a+b+c\le1\))

và \(a^2b^2c^2\le\frac{\left(ab+bc+ca\right)^3}{27}\)

Từ đó suy ra \(a^2b^2c^2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\frac{8\left(ab+bc+ca\right)^3}{27^2}\)(**)

Từ (*) và (**) suy ra \(\frac{1}{ab\left(a+b\right)}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)}\ge\frac{27}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

Đến đây, ta cần chứng minh \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{27}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{87}{2}\)(***)

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{27}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{23}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)\(\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{23}{2.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}\ge\frac{87}{2}\)*đúng theo (***)*

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

ai nhanh và đúng mik tích cho

Cần lao vi tiên thủ vô vi thực DB thực CUC

sửa đề thành \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)nhé

Ta dễ có:

\(c^2+2ab=c^2+ab+ab=c^2+ab-bc-ca=\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)

Một cách tương tự:

\(a^2+2bc=\left(a-b\right)\left(a-c\right);b^2+2ca=\left(b-c\right)\left(b-a\right)\)

Khi đó:

\(S=\frac{ab}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}+\frac{bc}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{ca}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}\)

Cách đơn giản nhất là quy đồng :)