câu hỏi

\(\frac{1}{\sqrt{a+\sqrt{a^2-1}}}=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{a^2}+\sqrt{a^2-1}}}=\frac{\sqrt{a-\sqrt{a^2-1}}}{\sqrt{1}}=\sqrt{a-\sqrt{a^2-1}}\)

chứng minh là đề sai nhé :

\(2\sqrt{x}=1+\sqrt{y}\ge1\) \(\Rightarrow\sqrt{x}\ge\frac{1}{2}\Rightarrow x\ge\frac{1}{4}\)

\(x+y\ge\frac{1}{4}>\frac{1}{5}\)( ko có dấu bằng xảy ra )

mình nghĩ sửa \(2\sqrt{x}-\sqrt{y}=1\)thành \(2\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\)

Khi đó: Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski , ta có :

\(\left(2.\sqrt{x}+1.\sqrt{y}\right)^2\le\left(2^2+1^2\right)\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow x+y\ge\frac{1}{5}\) . Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{y}}\\2\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{4}{25}\\y=\frac{1}{25}\end{cases}}\)

ĐK: \(-2\le x\le2\)

\(\left(\sqrt{2-x};\sqrt{2+x}\right)=\left(a;b\right)\) \(\left(a,b\ge0\right)\)

\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a+b+ab=2\\a^2+b^2=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=2-ab\\\left(2-ab\right)^2-2\left(2-ab\right)+1=9\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=2-ab\\ab\left(9-ab\right)=0\end{cases}}\)

+) Nếu a=0 thì b=2 \(\Rightarrow\)\(x=-2\) ( nhận ) 

+) Nếu b=0 thì a=2 \(\Rightarrow\)\(x=2\) ( nhận ) 

+) Nếu ab=9 thì \(a+b=-7\) ( loại, do \(a+b\ge0\) ) 

... 

\(\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x}+\sqrt{4-x^2}=2\)

\(\Rightarrow2-x+2+x+4-x^2=4\)

\(\Rightarrow8-x^2=4\)

\(\Rightarrow x^2=4\)

\(\Rightarrow x=\pm2\)

Study well