a.\(\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}.\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=\frac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}.\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=a-b\)

b.\(DK:x\ge0\)

\(\frac{x+4\sqrt{x}+4}{2+\sqrt{x}}=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}{\sqrt{x}+2}=\sqrt{x}+2\)

Bài làm:

Mk cx ko chắc nx nha !

\(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\)

\(=3-\left(\frac{a+b}{a+b+1}+\frac{b+c}{b+c+1}+\frac{c+a}{c+a+1}\right)\)(mk không biết cách viết nên ns nhé, tổng trong ngoặc { m, là

cái Tổng trong ngoặc dưới tổng có một dấu ngoặc nhọn, dưới dấu ngặc nhọn có M}

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(M=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)\left(a+b+1\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(b+c\right)\left(b+c+1\right)}+\frac{\left(c+a\right)^2}{\left(c+a\right)\left(c+a+1\right)}\)\(\ge\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b\right)\left(a+b+1\right)\left(b+c\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a\right)\left(c+a+1\right)}\)

\(=\frac{4\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)+2\left(a+b+c\right)}\ge\frac{4\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)+2\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(=2\)

(Do \(a+b+c\le ab+bc+ca\))

Vậy \(M\ge2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}=3-M\le1\)(Đpcm)

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=1

Chép bài à bn tại sao \(A=\frac{1}{a+b+1}\) thế 2 ở bên kia đ?

Hơn nữa bất đẳng thức bn sai bét rồi người ta bảo bất đẳng thức bên kia mà sao bạn cho tổng luôn 

3- lấy đâu ra kết quả phải là \(2^2\)chứ 

Nếu ghi sai đề bài là bn sai cả bài k chắc đ :)

Ngoài ra các tổng bên ngoặc k có 4 hay 2 gì hết sai hết r nhé 

\(\hept{\begin{cases}8\left(2x+y\right)^2-10\left(2x+y\right)\left(2x-y\right)-3\left(2x-y\right)^2=0\\2x+y-\frac{2}{2x-y}=2\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}8\left(2x+y\right)^2-10\left(2x+y\right)\left(2x-y\right)-3\left(2x-y\right)^2=0\\\left(2x+y\right)\left(2x-y\right)-2=2\left(2x-y\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}8\left(2x+y\right)^2-10\left(2x+y\right)\left(2x-y\right)-3\left(2x-y\right)^2=0\\\left(2x+y\right)\left(2x-y\right)=2\left(2x-y\right)+2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow8\left(2+\frac{2}{2x-y}\right)^2-20\left(2x-y\right)-20-3\left(2x-y\right)^2=0\)

Giải pt này vs ẩn là (2x-y) được nghiệm là 2

Rồi bạn lm nốt nhá

Đặt \(\left(x^2+2x+2\right)^2=t\Rightarrow\frac{1}{t^2}+\frac{1}{\left(t+1\right)^2}=\frac{5}{4}\Leftrightarrow\frac{\left(t^2+2t+1\right)+t^2}{t^2\left(t+1\right)^2}=\frac{5}{4}\Leftrightarrow4\left(2t^2+2t+1\right)=5\left(t^4+2t^3+t^2\right)\) \(\Leftrightarrow8t^2+8t+4=5t^4+10t^3+5t^2\Leftrightarrow5t^4+10t^3-3t^2-8t-4=0\)\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t+2\right)\left(5t^2+5t+2\right)=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}t=1\\t=-2\end{cases}}\)

ta thấy 6-2=4, 12-8=4, 7-3=4 nên 

6/(x^2+2)-1+12/(x^2+8)-1+7/(x^2+3-)=0

<=>(4-x^2)(1/(x^2+2)+1/(x^2+8)+1/(x^2+3))=0

=> x= 2 hoặc x=-2

Bạn làm rõ được không ạ , thiếu 3 mà bạn

 \(\sqrt{x+6-2\sqrt{x+2}}+\sqrt{x+11-6\sqrt{x+2}}=1\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x+2}-1\right)^2+3}+\sqrt{\left(\sqrt{x+2}-3\right)^2}=1\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x+2}-1\right)^2+3}+\sqrt{x+2}=4\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x+2}-1\right)^2+3=\left(4-\sqrt{x}+2\right)^2\)

\(\Rightarrow x+2-2\sqrt{x+2}+1+3=16-8\sqrt{x+2}+x+2\)

\(\Rightarrow x-2\sqrt{x+2}-x+8\sqrt{x+2}=12\)

\(\Rightarrow6\sqrt{x+2}=12\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+2}=2\)

\(\Rightarrow x+2=4\)

\(\Rightarrow x=2\)

Vậy x=2