\(\Leftrightarrow x^2+2x+3-3x^2-3x-3=\left(x^2+x+1\right)\left(x^4+x^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2x^2-x=\left(x^2+x+1\right)\left(x^4+x^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2\left(x^2+\frac{x}{2}\right)=\left(x^2+x+1\right)\left(x^4+x^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2\left(x^2+\frac{x}{2}+\frac{1}{16}\right)+\frac{1}{8}=\left(x^2+x+1\right)\left(x^4+x^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{8}-2\left(x+\frac{1}{4}\right)^2=\left[\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\left[\left(x^2+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\)

Vế trái của pt luôn luôn nhỏ hơn 1/8, còn vế phải luôn luôn lớn hơn 9/16=> pt vô nghiệm

Gọi dạng tổng quát của mọi số tự nhiên là b \(\left(b\inℕ\right)\)

Ta có: \(b^3-b=b\left(b^2-1\right)=b\left(b+1\right)\left(b-1\right)\)

Tích 3 số nguyên liên tiếp có ít nhất một số chẵn và một số chia hết cho 3 nên chia hết cho 6 => \(b^3-b⋮6\)

=> \(b^3-b=-6c\left(c\inℤ\right)\Rightarrow b=b^3+6c\)

Vậy mọi số tự nhiên đều được viết dưới dạng b³ + 6c trong đó b và c là các số nguyên.

Ta có: \(b^3+6c=b.b.b+\left(c+c+c+c+c+c\right)\)

Với \(b>c\Rightarrow c=\frac{1}{2}b\)

Với \(b< c\Rightarrow b=\frac{1}{2}c\)

- Không thể xảy ra trường hợp b=c

=> đpcm

x⁶ - 20x⁵ - 20x⁴ - 20x³ - 20x² - 20x + 3 tại x = 21

x = 21 => 20 = x - 1

Thế vô ta được:

x⁶ - ( x - 1 )x⁵ - ( x - 1 )x⁴ - ( x - 1 )x³ - ( x - 1 )x² - ( x - 1 )x + 3

= x⁶ - x⁶ + x⁵ - x⁵ + x⁴ - x⁴ + x³ - x³ + x² - x² + x + 3

= x + 3

= 21 + 3 = 24

x = 99 => 100 = x + 1

Thế vào biểu thức ta được :

x⁵ - ( x + 1 )x⁴ + ( x + 1 )x³ - ( x + 1 )x² + ( x + 1 )x - 9

= x⁵ - x⁵ - x⁴ + x⁴ + x³ - x³ - x² + x² + x - 9

= x - 9

= 99 - 9 = 90

Với \(x=99\)\(\Rightarrow x+1=100\)

Thay \(x+1=100\)vào biểu thức ta có: 

\(x^5-100x^4+100x^3-100x^2+100x-9\)

\(=x^5-\left(x+1\right).x^4+\left(x+1\right).x^3-\left(x+1\right).x^2+\left(x+1\right).x-9\)

\(=x^5-x^5-x^4+x^4+x^3-x^3-x^2+x^2+x-9\)

\(=x-9=99-9=90\)

a) ∆BAD có AD = AB (gt) nên là tam giác cân

∆BAD cân tại A (cmt) có AM là trung tuyến nên cũng là trung trực của đoạn thẳng BD => B và D đối xứng nhau qua AM

Vậy điểm đối xứng với điểm B qua AM là điểm D

b) E nằm trên đường trung trực của BD ( trên đoạn AM) nên ED = EB

∆EDC có DE + EC > DC (bất đẳng thức tam giác) => EB + EC > DA + AC = AB + AC 

Vậy BA + AC < BE + EC

Ta có: \(P=\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{zx}}{y+2\sqrt{zx}}+\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}=\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{yz}}+2}+\frac{1}{\frac{y}{\sqrt{zx}}+2}+\frac{1}{\frac{z}{\sqrt{xy}}+2}\)

Đặt \(\frac{x}{\sqrt{yz}}=c,\frac{y}{\sqrt{zx}}=t;\frac{z}{\sqrt{xy}}=k\left(c,t,k>0\right)\)thì ctk = 1

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của \(P=\frac{1}{c+2}+\frac{1}{t+2}+\frac{1}{k+2}\)với ctk = 1

Dự đoán MaxP = 1 khi c = t = k = 1

Thật vậy: \(P=\frac{kt+2k+2t+4+ct+2c+2t+4+ck+2c+2k+4}{\left(c+2\right)\left(t+2\right)\left(k+2\right)}=\frac{\left(kt+tc+ck\right)+4\left(c+t+k\right)+12}{ctk+2\left(kt+tc+ck\right)+4\left(c+t+k\right)+8}\le\frac{\left(kt+tc+ck\right)+4\left(c+t+k\right)+12}{1+\left(kt+tc+ck\right)+3\sqrt[3]{\left(ctk\right)^2}+4\left(c+t+k\right)+8}=1\)Đẳng thức xảy ra khi x = y = z

Ta có: \(\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{x+2\sqrt{yz}}\right)\le\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{x+y+z}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{y+z}{x+y+z}\right)\)(bđt cosi) (1)

CMTT: \(\frac{\sqrt{xz}}{y+2\sqrt{xz}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x+z}{x+y+z}\right)\)(2)

\(\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y+z}\right)\)(3)

Từ (1), (2) và (3) cộng vế theo vế ta có:

\(\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{xz}}{y+2\sqrt{xz}}+\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y+z}{x+y+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x+z}{x+y+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y+z}\right)\)

=> P \(\le\frac{1}{2}\left(\frac{y+z+x+z+x+y}{x+y+z}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=1\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z

Vậy MaxP = 1 <=> x = y = z

Áp dụng bất đẳng thức cô si

\(\frac{1}{a^3}+1+1\ge\frac{3}{a}\)

\(\frac{a^3}{b^3}+1+1\ge3\frac{a}{b}\)

\(b^3+1+1\ge3b\)

Do đó \(VT+6\ge VP+2\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b\right)\ge VP+2.3=VP+6\Rightarrow VT\ge VP\left(đpcm\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số ta được:

\(\frac{1}{a^3}+1+1\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^3}\cdot1\cdot1}=\frac{3}{a}\)

\(\frac{a^3}{b^3}+1+1\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{b^3}\cdot1\cdot1}=\frac{3a}{b}\)

\(b^3+1+1\ge3\sqrt[3]{b^3\cdot1\cdot1}=3b\)

Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được:

\(\frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{b^3}+b^3+6\ge3\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b\right)\)

Mà \(3\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b\right)+2\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b\right)\)

\(\ge\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b+2\cdot3\sqrt[3]{\frac{1}{a}\cdot\frac{a}{b}\cdot b}=\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b+6\) (Cauchy)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{b^3}+b^3+6\ge\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b+6\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{b^3}+b^3\ge\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{1}{a}=\frac{a}{b}=b\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2=b\\b^2=a\end{cases}}\Rightarrow a=b=1\)

1) \(A=2x^2+6x=2\left(x^2+3x+\frac{9}{4}\right)-\frac{9}{2}=2\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\ge-\frac{9}{4}\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(2\left(x+\frac{3}{2}\right)^2=0\Rightarrow x=-\frac{3}{2}\)

Vậy Min(A) = -9/4 khi x = -3/2

2) \(B=x^2-2x+y^2-4y+6\)

\(B=\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-4y+4\right)+1\)

\(B=\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+1\ge1\left(\forall x,y\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^2=0\\\left(y-2\right)^2=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)

Vậy Min(B) = 1 khi x = 1 và y = 2

3) \(C=x^2-2xy+6y^2-12x+2y+45\)

\(C=\left(x^2-2xy+y^2\right)-12\left(x-y\right)+36+\left(5y^2-10y+5\right)+4\)

\(C=\left(x-y\right)^2-12\left(x-y\right)+36+5\left(y-1\right)^2+4\)

\(C=\left(x-y-6\right)^2+5\left(y-1\right)^2+4\ge4\left(\forall x,y\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}\left(x-y-6\right)^2=0\\5\left(y-1\right)^2=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=7\\y=1\end{cases}}\)

Vậy Min(C) = 4 khi x = 7 và y = 1

4) \(D=\left[\left(x-1\right)\left(x+6\right)\right]\left[\left(x+2\right)\left(x+3\right)\right]\)

\(D=\left(x^2+5x-6\right)\left(x^2+5x+6\right)\)

\(D=\left(x^2+5x\right)^2-36\ge-36\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left(x^2+5x\right)^2=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-5\end{cases}}\)

Vậy Min(D) = -36 khi x = 0 hoặc  x = -5

A = 2x² + 6x = 2( x² + 3x + 9/4 ) - 9/2 = 2( x + 3/2 )² - 9/2 ≥ -9/2 ∀ x

Dấu "=" xảy ra khi x = -3/2

=> MinA = -9/2 <=> x = -3/2

B = x² - 2x + y² - 4y + 6 = ( x² - 2x + 1 ) + ( y² - 4y + 4 ) + 1 = ( x - 1 )² + ( y - 2 )² + 1 ≥ 1 ∀ x, y

Dấu "=" xảy ra khi x = 1 ; y = 2

=> MinB = 1 <=> x = 1 ; y = 2

C = x² - 2xy + 6y² - 12x + 2y + 45

= ( x² - 2xy + y² - 12x + 12y + 36 ) + ( 5y² - 10y + 5 ) + 4

= [ ( x² - 2xy + y² ) - ( 12x - 12y ) + 36 ] + 5( y² - 2y + 1 ) + 4

= [ ( x - y )² - 2( x - y ).6 + 6² ] + 5( y - 1 )² + 4

= ( x - y - 6 )² + 5( y - 1 )² + 4 ≥ 4 ∀ x, y

Dấu "=" xảy ra khi x = 7 ; y = 1

=> MinC = 4 <=> x = 7 ; y = 1

D = ( x - 1 )( x + 2 )( x + 3 )( x + 6 )

= [ ( x - 1 )( x + 6 ) ][ ( x + 2 )( x + 3 ) ]

= ( x² + 5x - 6 )( x² + 5x + 6 )

= ( x² + 5x )² - 36 ≥ -36 ∀ x

Dấu "=" xảy ra <=> x² + 5x = 0

                        <=> x( x + 5 ) = 0

                        <=> x = 0 hoặc x = -5

=> MinD = -36 <=> x = 0 hoặc x = -5