a) \(\sqrt{x-1}=x-1\)

\(ĐKXĐ:x\ge1\)

Bình phương hai vế của pt:

\(x-1=x^2-2x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-2x+2=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=2\end{cases}}\)(t/m)

b) \(x-\sqrt{2x+3}=0\)

\(ĐKXĐ:x\ge\frac{-3}{2}\)

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{2x+3}=x\)

Bình phương hai vế của pt:

\(2x+3=x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\)

\(\cdot\Delta=\left(-2\right)^2-4.\left(-3\right)=16,\sqrt{\Delta}=4\)

Vậy pt có 2 nghiệm phân biệt

\(x_1=\frac{2+4}{2}=3\);\(x_1=\frac{2-4}{2}=-1\)(t/m)

a) \sqrt{x-1}=x-1x−1​=x−1

ĐKXĐ:x\ge1ĐKXĐ:x≥1

Bình phương hai vế của pt:

x-1=x^2-2x+1x−1=x2−2x+1

\Leftrightarrow x^2-3x+2=0⇔x2−3x+2=0

\Leftrightarrow x^2-x-2x+2=0⇔x2−x−2x+2=0

\Leftrightarrow x\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)=0⇔x(x−1)−2(x−1)=0

\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0⇔(x−1)(x−2)=0

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=2\end{cases}}\)(t/m)

b) x-\sqrt{2x+3}=0x−2x+3​=0

ĐKXĐ:x\ge\frac{-3}{2}ĐKXĐ:x≥2−3​

pt\Leftrightarrow\sqrt{2x+3}=xpt⇔2x+3​=x

Bình phương hai vế của pt:

2x+3=x^22x+3=x2

\Leftrightarrow x^2-2x-3=0⇔x2−2x−3=0

\cdot\Delta=\left(-2\right)^2-4.\left(-3\right)=16,\sqrt{\Delta}=4⋅Δ=(−2)2−4.(−3)=16,Δ​=4

Vậy pt có 2 nghiệm phân biệt

x_1=\frac{2+4}{2}=3x1​=22+4​=3;x_1=\frac{2-4}{2}=-1x1​=22−4​=−1(t/m)

1) Ta có: \(BC^2+AC^2=\left(a\sqrt{3}\right)^2+\left(a\sqrt{2}\right)^2=3a^2+2a^2=5a^2\)(1)

\(AB^2=\left(a\sqrt{5}\right)^2=5a^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BC^2+AC^2=AB^2\)

Suy ra tam giác ABC vuông tại C

2) Các tỉ số lượng giác của góc B

\(sinB=\frac{AC}{AB}\)

\(cosB=\frac{BC}{AB}\)

\(tanB=\frac{AC}{BC}\)

\(cotB=\frac{BC}{AC}\)

Suy ra các tỉ số lượng giác của góc A là:

\(sinA=\frac{BC}{AB}\)

\(cosA=\frac{BC}{AB}\)

\(tanA=\frac{BC}{AC}\)

\(cotA=\frac{AC}{BC}\)

câu 2. Em chưa tính các tỉ số @ctk_new@

Vì a,b > 0 nên \(\frac{a+b}{\sqrt{a^2+4}}\le\sqrt{\frac{3}{2}}\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+4}\le\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{2a^2+b^2}\le\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{2a^2+b^2}-\frac{3}{2}\le0\Leftrightarrow\frac{2a^2+4ab+2b^2-6a^2-3b^2}{2\left(2a^2+b^2\right)}\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-4a^2+4ab-b^2}{2\left(2a^2+b^2\right)}\le0\Leftrightarrow\frac{-\left(2a-b\right)^2}{2\left(2a^2+b^2\right)}\le0\)(Đúng)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2=4\\2a-b=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{2}{\sqrt{5}}\\b=\frac{4}{\sqrt{5}}\end{cases}}\)

Hướng dẫn:

Ta có \(\left(a+b\right)^2=\left(\sqrt{2}a\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+b\cdot1\right)^2\le\left(2a^2+b^2\right)\cdot\left(\frac{1}{2}+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\le\left(a^2+4\right)\cdot\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{\sqrt{a^2+4}}\le\sqrt{\frac{3}{2}}\)

\(\left(x+y\right)^2+\frac{x+y}{2}=\left(x+y\right)\left(x+\frac{1}{4}+y+\frac{1}{4}\right)\ge2\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\ge2x\sqrt{y}+2y\sqrt{x}\)

Dau '=' xay ra khi \(x=y=\frac{1}{4}\)