a) tam giác ABc có CF là đường phân giác => \(\frac{BF}{BC}=\frac{AF}{AC}\)

\(\Rightarrow\frac{BF}{BC}=\frac{AF}{AC}=\frac{BF+AF}{BC+AC}=\frac{AB}{BC+AC}\Rightarrow BF=\frac{AB\cdot BC}{BC+AC}\)

tương tự cũng có \(CE=\frac{AC\cdot BC}{BC+AB}\)

tam giác BCE có CD là đường phân giác => \(\frac{BD}{BC}=\frac{DE}{CE}\)

=> \(\frac{BD}{BC}=\frac{DE}{CE}\)do đó \(\frac{BD}{BE}=\frac{AB+AC}{AB+BC+AC}\) tương tự \(\frac{CF}{CD}=\frac{AB+BC+AC}{AC+BC}\)

tam giác ABC vuông tại A => AB²+AC²=BC² => (AB+BC+AC)²=2(AB+BC)(AC+BC)

\(\Rightarrow\frac{AB+BC+AC}{AC+BC}=\frac{2\left(AB+AC\right)}{AB+BC+AC}\)

do đó \(\frac{CF}{CD}=\frac{2BD}{BE}\Rightarrow BE\cdot CF=2BD\cdot CD\left(đfcm\right)\)

gọi I là giao của AH,BM,CF. K là điểm đối xứng của I qua M

tứ giác IAKC là hình bình hành => AI//CK, AK//IC

tam giác ABC có IF//AK => \(\frac{BF}{AF}=\frac{BI}{KI}\), tam giác BCK có IH//CK => \(\frac{BI}{KI}=\frac{BH}{CH}\)

tam giác BAK có CF là phân giác => \(\frac{BF}{AF}=\frac{BC}{AC}\)do đó \(\frac{BH}{CH}=\frac{BC}{AC}\)=> BH.AC=CH.BC

tam giác ABC vuông ở A, AH là đường cao => AC²=CH.BC

ta có BH.AC=AC²(=CH.BC) => BH=AC

tam giác ABH vuông tại H => cosB=\(\frac{BH}{AH}=\frac{AC}{AB}\); tam giác ABC vuông ở A => tanB=\(\frac{AC}{AB}\)

do đó cosB=tanB. mà tan²B+1=\(\frac{\sin^2B}{\cos^2B}+1=\frac{1}{\cos^2B}\)

ta có \(\frac{1}{\cos^2B}=\frac{1}{\tan^2B}\)=> tan²B+1=\(\frac{1}{\tan^2B}\)

=> tan⁴B+tan²B=1 => \(\left(\tan^2B+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{4}\tan^2B+\frac{1}{2}=1\)

\(\Rightarrow\tan B=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\sqrt{\frac{2\sqrt{5}-2}{2}}\)

a, Vì a,b không âm:

\(\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\)

Có \(a-b>0\Rightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)>0\)

Mà \(\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\)

\(\Rightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}>0\Leftrightarrow\sqrt{a}>\sqrt{b}\)

b, Tương tự phần a: 

\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)>0\Leftrightarrow a-b>0\Leftrightarrow a>b\)

( đổi ngược dấu a,b lại giúp mình nhé.)

Mới nghĩ ra câu a) 1 kiểu khác nhưng không biết đúng không  :> nó vẫn ra hq như nhau thôi 

Do a,b không âm và a < b nên b > 0 , suy ra :

\(\sqrt{a}+\sqrt{B}>0\)   ( 1 )

Mặt khác , ta có :

\(a-b=\left(\sqrt{a}\right)^2-\left(\sqrt{b^2}\right)=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)( 2 )

Vì a < b nên a - b < 0 , từ ( 2 ) suy ra :

\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< 0\)( 3 )

Từ (1) và (3) , suy ra :

\(\sqrt{a}-\sqrt{b}< 0\)hay \(\sqrt{a}< \sqrt{b}\)

Không mất tính tổng quát, giả sử: \(a\le b\le c< d\)

Ta có: \(d!=a!+b!+c!\le3c!\Leftrightarrow c!\cdot\left(c+1\right)\cdot...\cdot d\le3c!\Leftrightarrow\left(c+1\right)\cdot...\cdot d\le3\)

TH1: c+1=1 thì d=1 hoặc d=2

+) TH1.1: d=1, không thỏa mãn
+) TH1.2: d=2, không thỏa mãn

TH2: c+1=2 thì d=2, lúc đó cũng không tìm được 3 số thỏa mã
TH3: c+1=3 thì c=2 và d=3. Ta có: a! + b! +2! = 3! -> a! + b! = 4 -> a=b=2

Vậy 3 số a=b=c=2, d=3
Mình làm hơi tắt chút bạn thông cảm nha
 

x,y,z>0 và xy+yz+zx=1 nha :<<

Okey 

\(x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}=x\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}=xy+xz\)

Tương tự thì ta có:

\(P=2\left(xy+yz+zx\right)=2\)

Vậy P=2

Áp dụng bđt Cosi ta có: \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2;\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2;\frac{c^2}{c+d}+\frac{c+d}{4}\ge2\)\(;\frac{d^2}{d+a}+\frac{d+a}{4}\ge2\)

Cộng theo vế và a+b+c+d=1 ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a^2}{a+b}=\frac{a+b}{4};\frac{b^2}{b+c}=\frac{b+c}{4};\frac{c^2}{c+d}=\frac{c+d}{4};\frac{d^2}{d+a}=\frac{d+a}{4}\\\\a=b=c=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)

Bunyakovsky dạng phân thức

Dễ lắm bạn! Biến đổi tương đương là ok á!

\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(VT\ge3\left[\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]=\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{3}=VP\left(đpcm\right)\)(bất đẳng thức svacxo)

Ta có : \(a+\frac{1}{a}=b+\frac{1}{b}=c+\frac{1}{c}=x\)

=> \(\frac{a^2+1}{a}=\frac{b^2+1}{b}+\frac{c^2+1}{c}=x\)

=> \(\hept{\begin{cases}a^2+1=ax\\b^2+1=bx\\c^2+1=cx\end{cases}}\left(4\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2-ax=-1\\b^2-bx=-1\\c^2-cx=-1\end{cases}}\)

=> a² - ax = b² - bx = c² - cx

=> a² - ax = b² - bx

=> a² - ax - b² + bx = 0

=> a² - b² + x(b - a) = 0

=> (a - b)(b + a) + b - a = 0

=> -(b - a)(b + a) + x(b - a) = 0

=> -(b - a)(b + a - x) = 0

=> b + a - x = 0

=> b + a = x (1)

Tương tự ta có : 

b + c - x  = 0 

=> b + c = x (2)

và a + c - x =0

=> a + c = x (3)

Thay (1) (2) (3) vào (4) ta có : 

\(\hept{\begin{cases}a^2+1=a\left(a+c\right)\\b^2+1=b\left(a+b\right)\\c^2+1=c\left(b+c\right)\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}ac=1\\ab=1\\bc=1\end{cases}}}\)=> ac - ab = 1 - 1

=> a(c - b) = 0

=> a = 0 (vì c khác b)

=> P = x.abc = 0

ôi Chết ghi lộn đề bài cho tui xin lỗi \(a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}=x\)

chỗ số 44, mấy bạn sửa lại dùm mình thành 4 nha

\(\frac{\sqrt{y}}{x-\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{x}}{y-\sqrt{xy}}\)

\(=\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}\left(\sqrt{y}-\sqrt{x}\right)}\)

\(=\frac{y}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}-\frac{x}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}\)

\(=\frac{y-x}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}\)

\(=-\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}\)

Câu này dễ mà, sao c lm CTV được:vv

\(\hept{\begin{cases}2x^2+\frac{x}{2x-y}=2\left(1\right)\\y^2+\frac{y}{2x-y}=4\left(2\right)\end{cases}}\)

ĐKXĐ: \(2x-y\ne0\)

Nhân 2 vế PT (1) với 2 rồi trừ đi PT (2) ta được:

\(4x^2-y^2+1=0\left(3\right)\)

Ta xét 2 trường hợp:

TH1:\(2x+y=0\)<=>\(y=-2x\)

Thay vào PT (1) rồi ta tính được \(\left(x;y\right)=\left(\pm\sqrt{\frac{7}{8}};\mp2\sqrt{\frac{7}{8}}\right)\)

TH2: \(2x+y\ne0\)

<=>\(2x-y=\frac{-1}{2x+y}\)

Thay vào PT(1) ta được:

\(xy=-2\)

Thay vào \(4x^2-y^2+1=0\)ta tính được

\(\left(x;y\right)=\left(...\right)\)

Vậy....

Phần tính toán cậu tự tính nhé:vvv

@Lê Phúc Huy: lí do mik đã viết thẳng vào câu hỏi. Ngay dòng dòng đầu mà bạn không thấy à. Hay mắt lé mà không thấy :]>