Để chứng minh n²+n+1 không thể là số chính phương ta sẽ chứng minh n²+n+1 không chia hết cho 9

Giả sử n²+n+1 chia hết cho 9

<=> n²+n+1=9k (k thuộc N)

<=> n²+n+1-9k=0 (1)

\(\Delta=1^2-4\left(1-9k\right)=36k-3=3\left(12k-1\right)\)

Ta thấy \(\Delta⋮3\)và không chia hế cho hết cho 9 nên không là số chính phương => pt (1) trên không thể nghiệm nguyên

Vậy n²+n+1 không chia hết cho 9 hay n²+n+1 không là số chính phương

Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow\left(a+b\right)c=ab\Leftrightarrow ab-bc-ab=0\)

Hay \(ab-bc-ab+c^2=c^2\Leftrightarrow\left(b-c\right)\left(a-c\right)=c^2\)

Nếu \(\left(b-c;a-c\right)=d\ne1\Rightarrow c^2=d^2\left(loai\right)\)

Vậy \(\left(b-c;a-c\right)=1\Rightarrow c-b;c-a\) là 2 số chính phương

Đặt \(b-c=n^2;a-c=m^2\)

\(\Rightarrow a+b=b-c+a-c+2c=m^2+n^2+2mn=\left(m+n\right)^2\) là số chính phương

cho mình hỏi tại sao ở TH1: c^2=d^2 lại loại vậy ạ

Ta có:\(N=\frac{4x+1}{4x^2+2}\Leftrightarrow N.4x^2+2N=4x+1\)

\(x^2\cdot4N-2.2x+\left(2N+1\right)=0\)

Xét \(\Delta'=4-\left(2N+1\right)\cdot4N=-8N^2-4N+4\ge0\)

Đến đây bạn chặn N là được nhé ! Ắt sẽ có Max

a) \(x^2+2x+4^n-2^{n+1}+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+1+2^{2n}+2^{n+1}+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+\left(2^{2n}-2\cdot2^n+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+1=0\\2^n-1=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\n=0\end{cases}}}\)

Vậy x=-1 và n=0

Bạn chứng minh các công thức sau:

\(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)

Ta có:

\(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

\(9=\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca=-10\)

Khi đó \(P=3^3-3\left[\left(-10\right)\cdot3-11\right]\) không biết tính nhanh ntnào hết :P

2) \(A=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+2xy\)

\(=2\left(x^2-xy+y^2\right)+2xy\)

\(=2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=4\)(BĐT Bunhiacopxki)

=> A \(\ge4\)Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1

Gọi x(km/h) là vận tốc cano khi nước lặng (x>0)

Vận tốc khi xuôi dòng: x+4 (km/h)

Vận tốc khi ngược dòng x-4 (km/h)

Thời gian cano đi xuôi dòng \(\frac{15}{x+4}\left(h\right)\)

Thời gian cano đi ngược dòng \(\frac{15}{x-4}\left(h\right)\)

Thời gian cả đi cả về là 2h nên ta có PT:

\(\frac{15}{x+4}+\frac{15}{x-4}=2\Leftrightarrow15\left(x-5\right)+15\left(x+4\right)=2\left(x-4\right)\left(x+4\right)\)

\(\Leftrightarrow15\left(x+4+x-4\right)=2\left(x^2-16\right)\Leftrightarrow15\cdot2x=2x^2-32\)

\(\Leftrightarrow2x^2-30x-32=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\left(ktm\right)\\x=10\left(tm\right)\end{cases}}\)