Cho tam giác ABC có 4B<AC.C dị,d, lần lượt là các đường phân giác trong và ngoài của góc BAC. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên d,,d,. Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên dạ, ch a) Chứng minh rằng MN và PQ lần lượt đi qua trung điểm của AB và AC. b) Chứng minh rằng MN và PQ cắt nhau trên BC. c) Trên d, lấy các điểm E và F sao cho ABE = BCA và ACF =CBA (E thuộc nửa...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC có 4B<AC.C dị,d, lần lượt là các đường phân giác trong và ngoài của góc BAC. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên d,,d,. Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên dạ, ch a) Chứng minh rằng MN và PQ lần lượt đi qua trung điểm của AB và AC. b) Chứng minh rằng MN và PQ cắt nhau trên BC. c) Trên d, lấy các điểm E và F sao cho ABE = BCA và ACF =CBA (E thuộc nửa mặt phẳng bờ AB chứa C; F thuộc nửa mặt phẳng bờ AC chứa B). Chứng minh rằng CF AC d) Các đường thẳng BN và CQ lần lượt cắt AC và AB tại các điểm K và L. Chứng minh rằng các đường thẳng KE và LF cắt nhau trên đường thẳng BC.
%20-%20Copy%20-%20Copy.jpg.+link+đây,+các+bận+giúp+mik+nhé){kind=link}
a) Ta thấy phân giác trong và phân giác ngoài của góc BAC vuông góc nhau, M,N là hình chiếu của B lên d,d'. Suy ra tứ giác BMAN là hình chữ nhật. Tương tự CPAQ là hình chữ nhật. Vậy MN,PQ lần lượt chia đôi AB,AC.
b) Gọi J là trung điểm AB, ta có \(\widehat{BJM}=2\widehat{BAM}=\widehat{BAC}\), suy ra MN || AC
Vì MN chia đôi AB, MN || AC nên MN đi qua trung điểm I của BC. Tương tự PQ đi qua I.
Vậy MN,PQ cắt nhau tại trung điểm I của BC.
c) Chứng minh \(\frac{CF}{AC}=\frac{BE}{AB}\)
Gọi D là chân đường phân giác trong góc BAC. Ta có:
\(\widehat{BED}=\widehat{BAE}+\widehat{ABE}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}+\widehat{BCA}=\widehat{BDE}\), suy ra BE = BD. Tương tự CE = CD
Theo định lí đường phân giác thì \(\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}=\frac{BE}{CF}\) hay \(\frac{CF}{AC}=\frac{BE}{AB}.\)
d) Các bạn tự chứng minh bổ đề sau: Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M trên mặt phẳng chứa tam giác này, thỏa mãn \(S_{AMB}=S_{AMC}\), nằm trên đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC.
Lời giải: Gọi S,T lần lượt là hình chiếu vuông góc của E trên AC,BK
Ta có: \(\Delta AMB~\Delta ASE\)(g.g), suy ra \(\frac{ES}{ET}=\frac{ES}{BM}=\frac{AE}{AB}\)
\(\Delta ABE~\Delta ACD\)(g.g), suy ra \(\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}\)
Theo định lí Thales thì \(\frac{AD}{AC}=\frac{KB}{KC}\)
Do đó \(\frac{ES}{ET}=\frac{KB}{KC}\Rightarrow ES.KC=ET.KB\). Suy ra \(S_{KEB}=S_{KEC}\)
Theo Bổ đề thì E nằm trên đường trung tuyến KI của tam giác BKC. Tương tự F nằm trên trung tuyến LI của tam giác BLC. Vậy KE,LF cắt nhau trên trung điểm I của BC.
cảm ơn bn nha