Cho x,y là các số thực > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
NH
24 tháng 11 2020
Ta có: \(ax+by+cz=0\)
\(\Rightarrow\left(ax+by+cz\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2\left(axby+bycz+axcz\right)=0\)
\(\Rightarrow a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2=-2\left(axby+bycz+axcz\right)\)
Lại có: \(\frac{ax^2+by^2+cz^2}{bc\left(y-z\right)^2+ac\left(x-z\right)^2+ab\left(x-y\right)^2}\)
\(=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{bc\left(y^2-2yz+z^2\right)+ac\left(x^2-2xz+z^2\right)+ab\left(x^2-2xy+y^2\right)}\)
\(=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{bcy^2-2bcyz+bcz^2+acx^2-2acxz+acz^2+abx^2-2abxy+aby^2}\)
\(=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{bcy^2+bcz^2+acx^2+acz^2+abx^2+aby^2-2\left(bcyz+acxz+abxy\right)}\)
\(=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{bcy^2+bcz^2+acx^2+acz^2+abx^2+aby^2+a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2}\)
\(=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{\left(acx^2+abx^2+a^2x^2\right)+\left(bcy^2+aby^2+b^2y^2\right)+\left(bcz^2+acz^2+c^2z^2\right)}\)
\(=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{ax^2\left(c+b+a\right)+by^2\left(c+a+b\right)+cz^2\left(b+a+c\right)}\)
\(=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{\left(a+b+c\right)\left(ax^2+by^2+cz^2\right)}=\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{\frac{1}{2020}}=2020\) (đpcm)
H
0
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức: \(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)-2}\)
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(\frac{\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)-2}\)
Đặt \(x+y=t\)thì ta có: \(\left(t-4\right)^2\ge0\forall t\Leftrightarrow t^2\ge8t-16\Leftrightarrow\frac{t^2}{t-2}\ge8\)
Vậy MinA = 8 khi và chỉ khi x = y = 2