Tổng các hệ số của đa thức trên sau khi khai triển là: 

\(f\left(1\right)=\left(19-20.1+1^2\right)^{2021}.\left(19+20.1+1^2\right)^{2020}\)

\(=0^{2021}.40^{2020}=0\)

a=2¹².5⁷=2⁵.(2.5)⁷=32.10⁷=3200....00 (7 chữ số 0)

vì số 32 có 2 chữ số, có 7 số 0 nên a có 2+7=9 chữ số

vậy...

Ta xét theo quy luật:

(_3)⁴ⁿ = _1 ; (_3)⁴ⁿ⁺¹ = _3; (_3)⁴ⁿ⁺² = _9; (_3)⁴ⁿ⁺³ = _7  ;

(_7)⁴ⁿ = _1 ; (_7)⁴ⁿ⁺¹ = _7; (_3)⁴ⁿ⁺² = _9; (_3)⁴ⁿ⁺³ = _3 .

Ta thấy 2009 = 502 x 4 + 1 nên 3²⁰⁰⁹ có tận cùng là 3.

            2010 = 502 x 4 + 2 nên 7²⁰¹⁰ có tận cùng là 9.

            2011 = 502 x 4 + 3 nên 13²⁰¹¹ có tận cùng là 7.

Vậy M có chữ số tận cùng giống với chữ số tận cùng của tích : 3 x 9 x 7 = 189.

Tóm lại M có chữ số tận cùng là 9.

Ta có 3²⁰⁰⁹ =  3²⁰⁰⁸.3 = (3⁴)⁵⁰².3 = (...1)⁵⁰².3 =(...1) . 3 = (...3)

7²⁰¹⁰ = 7²⁰⁰⁸.49 = (7⁴)⁵⁰².49 = (...1)⁵⁰².49 = (...1).49 = (...9)

13²⁰¹¹ = 13²⁰⁰⁸.13³ = (13⁴)⁵⁰².(...7) = (...1)⁵⁰².(...7) = (...1).(...7) = (...7)

Khi đó 3²⁰⁰⁹.7²⁰¹⁰.13²⁰¹¹ = (...3).(...9).(...7) = (...9) 

Vậy chữ số tận cùng của tích trên là 9

Ta có m + 2014n \(⋮\)2015

<=> 2015m + 2015n - 2014m - n \(⋮\)2015

<=> 2015(m + n) - (2014m + n) \(⋮\)2015

Vì 2015(m + n) \(⋮\)2015

=> 2014m + n \(⋮\)2015 (1)

mà m + 2014n \(⋮\)2015 (2)

Từ (1) và (2) => (2014m + n)(m + 2014n) \(⋮\)2015²

Ta có S = \(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{a+b+c}\)

=> S + 4 = \(\left(\frac{a}{b+c+d}+1\right)+\left(\frac{b}{c+d+a}+1\right)+\left(\frac{c}{d+a+b}+1\right)+\left(\frac{d}{a+b+c}+1\right)\)

= \(\frac{a+b+c+d}{b+c+d}+\frac{a+b+c+d}{c+d+a}+\frac{a+b+c+d}{d+a+b}+\frac{a+b+c+d}{a+b+c}\)

\(=\left(a+b+c+d\right)\left(\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{c+d+a}+\frac{1}{d+a+b}+\frac{1}{a+b+c}\right)\)

\(=4000.\frac{1}{40}=100\)

=> S = 100 - 4 = 96

a)=5x^2-3x-x^3+x^2+x^3-6x^2-10-3x

=10

Vậy...

4) a Ta có x(5x - 3) - x²(x - 1) + x(x² - 6x) - 10 + 3x 

= 5x² - 3x - x³ + x² + x³ + 6x² - 10 + 3x 

= - 10 

=> Biểu thức không phụ thuộc vào biến 

b) Ta có x(x² + x + 1) - x²(x + 1) - x + 5

= x³ + x² + x - x³ - x² - x  + 5 = 5

=> Biểu thức không phụ thuộc vào biến

\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}\)

<=> \(\frac{10a+b}{a+b}=\frac{10b+c}{b+c}\)

<=> \(\frac{9a}{a+b}=\frac{9b}{b+c}\)

<=> \(\frac{a}{a+b}=\frac{b}{b+c}\)

=> a(b + c) = b(a + b)

<=> ab + ac = ba + b²

=> ac = b² (đpcm)

ac=b²

Ta có: \(\left|2x-3y\right|+\left|2y+3z\right|+\left|x+y+\frac{x}{z}\right|\ge0\left(\hept{\begin{cases}\forall x,y,z\\z\ne0\end{cases}}\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x-3y=0\\2y+3z=0\\x+y+\frac{x}{z}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{2}y\\z=-\frac{2}{3}y\\\frac{3}{2}y-\frac{2}{3}y+\frac{\frac{3}{2}y}{-\frac{2}{3}y}=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{2}y\\z=-\frac{2}{3}y\\\frac{5}{6}y=\frac{9}{4}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{2}y=\frac{81}{20}\\y=\frac{27}{10}\\z=\frac{-9}{5}\end{cases}}\)