Đặt S = \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^9}+...+\frac{1}{2^{101}}\)

=> 2⁴S = 16S = \(2^3+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^5}+...+\frac{1}{2^{97}}\)

=> 16S - S = \(2^3+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^5}+...+\frac{1}{2^{97}}-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^9}+...+\frac{1}{2^{101}}\right)\)

=> 15S = \(2^3-\frac{1}{2^{101}}\)

=> S = \(\frac{2^3-\frac{1}{2^{101}}}{15}\)

Khi đó A = \(\frac{2^3-\frac{1}{2^{101}}}{15}:\left(2^3-\frac{1}{2^{101}}\right)=\frac{1}{15}\)

kết bạn đi toán lớp mấy vậy

\(\left(\sqrt{x}-1\right)^2=0,36\)

<=> \(\left(\sqrt{x}-1\right)^2=\left(0,6\right)^2\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}-1=0,6\\\sqrt{x}-1=-0,6\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=1,6\\\sqrt{x}=0,4\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\left(1,6\right)^2=2,56\\x=\left(0,4\right)^2=0,16\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-1=\pm\sqrt{0,36}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-1=\pm0,6\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=0,6+1\\\sqrt{x}=-0,6+1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{1,6}\\x=\sqrt{0,4}\end{cases}}\)

Đề thiếu nhé =))

Trả lời:

a, Xét tam giác ABE và tam giác AKE có:

^BEA = ^BEK = 90^o

^ABE = ^KBE ( BD là pg của ^ABC )

BE chung

=> tam giác ABE = tam giác AKE ( g-c-g )

=> AB = BK ( 2 cạnh tương ứng )

=> tam giác ABK cân tại B ( đpcm )

b, Xét tam giác ABD và tam giác KBD có:

AB = BK ( cmt )

^ABD = ^KBD ( BD là pg của ^ABC )

BD chung 

=> tam giác ABD = tam giác KBD ( c-g-c)

=> ^BAD = BKD = 90^o ( 2 cạnh tương ứng )

=> DK vuông góc BC ( đpcm )

Trả lời:

c, Xét tam giác ABI và tam giác KBI có:

AB = BK ( cmt )

^ABI = ^KBI ( BD là pg của ^ABC )

BI chung

=> tam giác ABI = tam giác KBI ( c-g-c)

=> AI = KI ( 2 cạnh tương ứng )

Vì tam giác ABD = tam giác KBD ( cmt )

=> AD = KD ( 2 cạnh tương ứng )

Ta có: AI = KI( cmt ); AD = KD ( cmt )

=> DI là đường trung trực của đoạn thẳng AK

=> IE = DE ( tc ) 

Vì AH _|_ BC ( gt ) và DK _|_ BC ( cmt )

=> AH // DK

=> ^DKE = ^IAE ( 2 góc so le trong )

Xét tam giác KDE và tam giác AIE có:

^KED = ^AEI = 90^o

AE chung

^DKE = ^IAE ( cmt )

=> tam giác KDE = tam giác AIE ( g-c-g )

=> KD = AI ( 2 cạnh tương ứng )

Mà KD = AD ( cmt )

=> AI = AD

Xét tam giác ADE và tam giác AIE có:

^AED = ^AEI = 90^o

AI = AD ( cmt )

AE chung 

=> tam giác ADE = tam giác AIE ( cạnh huyền - cạnh góc vuông )

=> ^DAE = ^IAE ( 2 góc tương ứng )

=> AK là tia phân giác của ^HAC ( đpcm )

d, Vì AI = AD ( cmt )

=> tam giác ADI cân tại A 

=> đường cao AE đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh DI

=> ED = EI

Xét tam giác ADE và tam giác KIE có:

^AED = ^KEI = 90^o

AE = EK ( cmt )

ED = EI ( cmt )

=> tam giác ADE = tam giác KIE ( c-g-c )

=> ^EAD = ^EKI ( 2 góc tương ứng )

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> IK // AC ( đpcm )

a) Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

Góc AMB = góc AMC = 90^o

AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A)

AM cạnh chung

=> Tam giác ABM = tam giác ACM (cạnh huyền - cạnh góc vuông)   (đpcm)

b) Xét tam giác ABM và tam giác CDM có:

AM = DM (gt)

Góc AMB = góc CMD (2 góc đối đỉnh)

BM = CM (vì tam giác ABM = tam giác ACM)

=> Tam giác ABM = tam giác DCM (c.g.c)

=> Góc ABM = góc DCM (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> AB // CD

c) Xét tam giác BHM và tam giác CKM có:

Góc BHM = góc CKM = 90^o

Góc HBM = góc KCM (cmt)

BM = CM (cmt)

=> Tam giác BHM = tam giác CKM (cạnh huyền - góc nhọn)   (đpcm)

Đặt \(A=\frac{1}{5}+\frac{1}{5^3}+...+\frac{1}{5^{101}}\)

\(\Rightarrow25A=5+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^3}+...+\frac{1}{5^{99}}\)

\(\Rightarrow25A-A=\left(5+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^3}+...+\frac{1}{5^{99}}\right)-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{5^5}+...+\frac{1}{5^{101}}\right)\)

hay \(24A=5-\frac{1}{5^{101}}\)

\(\Rightarrow A=\frac{5-\frac{1}{5^{101}}}{24}\)

\(\Rightarrow A:\left(1-\frac{1}{5^{102}}\right)=\frac{5-\frac{1}{5^{101}}}{24}.\frac{1}{1-\frac{1}{5^{102}}}\)

\(=\frac{5\left(1-\frac{1}{5^{102}}\right)}{24}.\frac{1}{1-\frac{1}{5^{102}}}=\frac{5}{24}\)

1/

\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)

\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}\)

...

\(\frac{1}{1990^2}< \frac{1}{1989.1990}\)

=> \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{1990^2}< \frac{1}{4}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{1989.1990}\)

\(VP=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1989}-\frac{1}{1990}=\frac{3}{4}-\frac{1}{1990}< \frac{3}{4}\)

=> ĐPCM

2/

\(\frac{1}{19}+\frac{9}{19.29}+\frac{9}{29+39}+...+\frac{9}{1999.2009}\)

\(=\frac{1}{19}+\frac{9}{10}\left(\frac{10}{19.29}+\frac{10}{29.39}+...+\frac{10}{1999.2009}\right)\)

\(=\frac{1}{19}+\frac{9}{10}\left(\frac{1}{19}-\frac{1}{29}+\frac{1}{29}-\frac{1}{39}+...+\frac{1}{1999}-\frac{1}{2009}\right)\)

\(=\frac{1}{19}+\frac{9}{10}\left(\frac{1}{19}-\frac{1}{2009}\right)\)

\(=\frac{1}{19}+\frac{9}{10}.\frac{1990}{38171}\)

\(=\frac{200}{2009}\)

Ta có: \(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{3}\)

\(=\frac{2x-2}{4}=\frac{3y-6}{9}=\frac{z-3}{3}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{2x-2}{4}=\frac{3y-6}{9}=\frac{z-3}{3}=\frac{2x-2+3y-6-z+3}{4+9-3}=\frac{\left(2x+3y-z\right)+\left(3-2-6\right)}{10}\)\(=\frac{50+5}{10}=5,5\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x-1}{2}=5,5\\\frac{y-2}{3}=5,5\\\frac{z-3}{3}=5,5\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-1=11\\y-2=16,5\\z-3=16,5\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=12\\y=18,5\\z=19,5\end{cases}}\)

Đặt S = \(\frac{1}{6}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{6^3}+...+\frac{1}{6^{100}}\)

=> 6S = \(1+\frac{1}{6}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{6^{99}}\)

=> 6S - S = \(\left(1+\frac{1}{6}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{6^3}+...+\frac{1}{6^{99}}\right)-\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{6^3}+...+\frac{1}{6^{100}}\right)\)

=> \(5S=1-\frac{1}{6^{100}}\)

=> \(S=\frac{1-\frac{1}{6^{100}}}{5}\)

Khi đó A = \(\left(1-\frac{1}{6^{100}}\right):\left(\frac{1-\frac{1}{6^{100}}}{5}\right)=5\)