Có x\(^3\) + y\(^3\)= (x+y)\(^3\)- 3xy(x+y)

  x\(^2\)+ xy + y\(^2\)= (x+y)\(^2\)-xy

Từ đây t đặt x+y=a; xy=b. Ta có hệ mới \(\hept{\begin{cases}a^3-3.a.b=152\\a^2-b=19\end{cases}}\)

Nhân 3a vào pt số 2 ta có\(\hept{\begin{cases}a^3-3ab=152\\3a^3-3ab=57a\end{cases}}\)Tư đây ta lấy pt thứ 2 trừ pt thứ nhất được pt 1 ẩn: 2a\(^3\)- 57a = -152 có thể giải tiếp

Đánh giá đại diện:

\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^2+ab+2b^2\ge\frac{5}{4}\left(a^2+2ab+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow8a^2+4ab+8b^2\ge5\left(a^2+2ab+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3a^2-6ab+3b^2\ge0\Leftrightarrow3\left(a-b\right)^2\ge0\left(true!\right)\)

Đánh giá các BĐT còn lại rồi cộng vế theo vế:

\(P\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(2a+2b+2c\right)=\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\)

P/S:Đề thiếu nhiều.Lẽ ra a,b,c>0 và a+b+c=k ( k là hằng số )

\(ab+bc+ca=abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)

Đặt \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)

\(\frac{a}{bc\left(a+1\right)}=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{z}\left(\frac{1}{x}+1\right)}=\frac{xyz}{x\left(x+1\right)}=\frac{yz}{x+1}\)

Tươn tự rồi cộng vế theo vế:

\(A=\frac{xy}{z+1}+\frac{yz}{x+1}+\frac{zx}{y+1}\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(z+1\right)}+\frac{\left(y+z\right)^2}{4\left(x+1\right)}+\frac{\left(z+x\right)^2}{4\left(y+1\right)}\)

Đặt \(x+y=p;y+z=q;z+x=r\Rightarrow p+q+r=2\)

\(A\le\Sigma\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(z+1\right)}=\Sigma\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left[\left(z+y\right)+\left(z+x\right)\right]}=\frac{p^2}{4\left(q+r\right)}+\frac{r^2}{4\left(p+q\right)}+\frac{q^2}{4\left(p+r\right)}\)

Sau khi đổi biến,cô si thì em ra thế này.Ai đó giúp em với :)

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)

\(=abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc+abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)( phân tích nhân tử các kiểu )

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(1\right)\)

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)

\(\Rightarrow-abc\ge\frac{-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)

Khi đó:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)

\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)

\(=\frac{8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) và ( 2 ) có đpcm