A = x² - 4x + 1 

A = ( x² - 4x + 4 ) - 3

A = ( x - 2 )² - 3

( x - 2 )² ≥ 0 ∀ x => ( x - 2 )² - 3 ≥ -3

Đẳng thức xảy ra <=> x - 2 = 0 => x = 2

=> MinA = -3 <=> x = 2

B = 4x² + 4x + 11

B = 4( x² + x + 1/4 ) + 10

B = 4( x + 1/2 )² + 10

4( x + 1/2 )² ≥ 0 ∀ x => 4( x + 1/2 )² + 10 ≥ 10

Đẳng thức xảy ra <=> x + 1/2 = 0 => x = -1/2

=> MinB = 10 <=> x = -1/2

C = ( x - 1 )( x + 3 )( x + 2 )( x + 6 )

C = [ ( x - 1 )( x + 6 ) ][ ( x + 3 )( x + 2 ) ]

C = [ x² + 5x - 6 ][ x² + 5x + 6 ]

C = ( x² + 5x )² - 6² = ( x² + 5x )² - 36

( x² + 5x )² ≥ 0 ∀ x => ( x² + 5x )² - 36 ≥ -36

Đẳng thức xảy ra <=> x² + 5x = 0

                             <=> x( x + 5 ) = 0

                             <=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x+5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-5\end{cases}}\)

=> MinC = -36 <=> x = 0 hoặc x = -5

D = 5 - 8x - x²

D = -( x² + 8x + 16 ) + 21

D = -( x + 4 )² + 21

-( x + 4 )² ≤ 0 ∀ x => -( x + 4 )² + 21 ≤ 21

Đẳng thức xảy ra <=> x + 4 = 0 => x = -4

=> MaxD = 21 <=> x = -4

E = 4x - x² + 1

E = -( x² - 4x + 4 ) + 5

E = -( x - 2 )² + 5

-( x - 2 )² ≤ 0 ∀ x => -( x - 2 )² + 5 ≤ 5 

Đẳng thức xảy ra <=> x - 2 = 0 => x = 2

=> MaxE = 5 <=> x = 2

\(\left(3x-2\right)\left(2x+9\right)-\left(x+2\right)\left(6x+1\right)=\left(x+1\right)-\left(x-6\right)\)

\(\Leftrightarrow6x^2+23x-18-6x^2-13x-2=7\)

\(\Leftrightarrow10x-20=7\)

\(\Leftrightarrow10x=27\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{27}{10}\)

\(\text{(3x-2)(2x+9)-(x+2)(6x+1)=(x+1)-(x-6)}\) 

\(6x^2+27x-4x-18-\left(6x^2+x+12x+2\right)=x+1-x+6\)     

\(6x^2+27x-4x-18-6x^2-x-12x-2-x-1+x-6=0\)     

\(10x-27=0\)    

\(10x=27\)           

\(x=\frac{27}{10}\)

A = (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7)

A = 3x(2x + 11) - 5(2x+  11) - 2x(3x + 7) - 3(3x + 7)

A=  6x² + 33x - 10x - 55 - 6x² - 14x - 9x - 21

A = (6x² - 6x²) + (33x - 10x - 14x - 9x) + (-55 - 21) = -76 => không phụ thuộc vào biến x (đpcm)

B = (2x + 3)(4x² - 6x + 9) - 2(4x³ - 1)

= 2x(4x² - 6x + 9) + 3(4x² - 6x + 9) - 8x³ + 2

= 8x³ - 12x² + 18x + 12x² - 18x - 27 - 8x³ + 2

= (8x³ - 8x³) + (-12x² + 12x²) + (18x - 18x) + (-27 + 2) = -25 => không phụ thuộc vào biến x (đpcm)

A= ( 3x - 5 ) ( 2x+11) - (2x+3)(3x+7) 

=\(6x^2+23x-55-\left(6x^2+23x+21\right)\) 

=\(6x^2+23x-55-6x^2-23x-21\)  

= -76 

Vậy A không phụ thuộc vào x

\(20x^2+24x+18=500\)    

\(20x^2+24x-482=0\) 

\(10x^2+12x-241=0\) 

\(\orbr{\begin{cases}x=\frac{-6+\sqrt{2446}}{10}\\x=\frac{-6-\sqrt{2446}}{10}\end{cases}}\)

20x² + 24x + 18 = 500

<=> 20x² + 24x + 18 - 500 = 0

<=> 20x² + 24x - 482 = 0

<=> 2( 10x² + 12x - 241 ) = 0

<=> 10x² + 12x - 241 = 0 (*)

\(\Delta'=b'^2-ac=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=6^2-10\cdot\left(-241\right)=36+2410=2446\)

\(\Delta'>0\)nên (*) có hai nghiệm phân biệt :

\(\hept{\begin{cases}x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{-6+\sqrt{2446}}{10}\\x_2=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{-6-\sqrt{2446}}{10}\end{cases}}\)

Lớp 8 sao nghiệm xấu thế nhỉ ;-;

a. \(4x-x^2+3=-\left(x-2\right)^2+7\)

Vì \(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow-\left(x-2\right)^2+7\le7\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow-\left(x-2\right)^2=0\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2\)

Vậy bt max = 7 <=> x = 2

b. \(2x-2x^2-7=-2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{13}{2}\)

Vì \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow-2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{13}{2}\le-\frac{13}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow-2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow x-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

Vậy bt max = - 13/2 <=> x = 1/2

a) 4x - x² + 3

= -( x² - 4x + 4 ) + 7

= -( x - 2 )² + 7

-( x - 2 )² ≤ 0 ∀ x => -( x - 2 )² + 7 ≤ 7

Đẳng thức xảy ra <=> x - 2 = 0 => x = 2

Vậy GTLN của biểu thức = 7 khi x = 2

b) 2x - 2x² - 7

= -2( x² - x + 1/4 ) - 13/2

= -2( x - 1/2 )² - 13/2

-2( x - 1/2 )² ≤ 0 ∀ x => -2( x - 1/2 )² - 13/2 ≤ -13/2

Đẳng thức xảy ra <=> x - 1/2 = 0 => x = 1/2

Vậy GTLN của biểu thức = -13/2 khi x = 1/2

Xet \(P-\frac{1}{3}=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}-\frac{1}{3}=\frac{3x^2-3x+3-\left(x^2+x+1\right)}{x^2+x+1}=\frac{2x^2-4x+2}{x^2+x+1}\)

 =\(\frac{2\left(x^2-2x+1\right)}{x^2+x+1}=\frac{2\left(x-1\right)^2}{x^2+x+1}\ge0\) (do \(x^2+x+1>0\forall x\) )

Suy ra \(P\ge\frac{1}{3}\)

Dau = xay ra khi \(x-1=0\Leftrightarrow x=1\)

Ta CM 1 số BĐT phụ sau :

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab-4ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(true\right)\)

và \(x^2+x+1=x^2+2x+1-x\ge\left(x+1\right)^2-\frac{\left(x+1\right)^2}{4}=\frac{3\left(x+1\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow P=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=1-\frac{2x}{x^2+x+1}\)

\(\ge1-\frac{\frac{\left(x+1\right)^2}{2}}{x^2+x+1}\ge1-\frac{\frac{\left(x+1\right)^2}{2}}{\frac{3\left(x+1\right)^2}{4}}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x+1=0\Leftrightarrow x=-1\)

(-8+x^2)^5=1

<=>-8+x^2=1

<=>x^2=9

<=>x=3 hoặc -3

Vậy x=3 hoặc -3

Ta có: \(\left(-8+x^2\right)\left(-8+x^2\right)\left(-8+x^2\right)\left(-8+x^2\right)\left(-8+x^2\right)=1\)

    \(\Leftrightarrow\left(-8+x^2\right)^5=1\)

    \(\Leftrightarrow x^2-8=\pm1\)

 + \(x^2-8=1\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2=9\)\(\Leftrightarrow\)\(x=\pm3\)

 + \(x^2-8=-1\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2=7\)\(\Leftrightarrow\)\(x=\pm\sqrt{7}\) 

Vậy \(S=\left\{-3,-\sqrt{7},\sqrt{7},3\right\}\)

bạn nhớ thêm đk là thực dương !

Sử dụng BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức ta có : \(x^3+y^3=\frac{x^4}{x}+\frac{y^4}{y}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{x+y}\ge\frac{\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\right]^2}{1}=\frac{\frac{1}{2^2}}{1}=\frac{\frac{1}{4}}{1}=\frac{1}{4}\)

\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :

\(x^3+y^3+x^2+y^2\ge\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Đặt \(A=x^3+y^3+x^2+y^2\)

\(\Rightarrow A=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+x^2+y^2\)

Thay \(x+y=1\)vào biểu thức ta được: 

\(A=1-3xy+x^2+y^2=\left(x^2+2xy+y^2\right)-5xy+1\)

\(=\left(x+y\right)^2-5xy+1=-5xy+2\)

Áp dụng bđt \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)ta có: \(1^2\ge4xy\)\(\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow-5xy\ge\frac{-5}{4}\)\(\Rightarrow-5xy+2\ge\frac{-5}{4}+2=\frac{3}{4}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy \(minA=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)