Cho các số tự nhiên a và b sao cho \(n=\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}\) là một số nguyên. CMR nếu d là ước chung lớn nhất của a và b thì \(d\le\sqrt{a+b}\)

cho 3 số thực dương \(a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\ge24\)tìm GTNN của \(S=a+b+c\)

Cho đường tròn (O) và (O₁ ) ở ngoài nhau, tiếp tuyến chung ngoài AB ( A thuộc O, B thuộc O₁ ). Tiếp tuyến chung trong CD và EF ( C, E thuộc O;  D, F thuộc O₁ ). CD cắt AB tại M, EF cắt AB tại N

a) CM: AM = BN

b) CM: góc OMO₁ = góc ONO₁

c) CM: AO. BO₁ = AM. BM

\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{\left(x+1\right)^2}=15\)

Đường tròn tâm I tiếp xúc với các cạnh của góc xOy tại A và B. Cho C là 1 điểm nằm trong góc xOy và nằm trên đường tròn tâm O bán kính OA. AC, BD cắt đường tròn tâm I tại tại F và E. Chứng minh  D,I,E thẳng hàng

Cho đường tròn tâm O bán kính R,dây AB = R.căn 3 .Vẽ đường kính CD vuông góc AB(C thuộc cung AB lớn).Trên cung AC lấy M.Vẽ dây AN//CM.Tính MN 

\(\text{Cho }a,n\in N\text{ với }a\ge2\text{ và }n>a^2\)
\(\text{CMR: }a^n>n^a\)
Dùng phương pháp chứng minh phản chứng nhá

\(\text{CMR: }n^2+3n+5\text{ không chia hết cho 121 với mọi n }\in\text{ N}̸\)
Giải theo phương pháp chứng minh phản chứng giúp mình nhá

Cho a,b,c>1/2 thõa mãn a+b+c=3.Chứng minh

\(\frac{2a-1}{1+bc}+\frac{2b-1}{1+ca}+\frac{2c-1}{1+ab}\ge\frac{3}{2}\)