\(2^{300}=\left(2^3\right)^{100}=8^{100};3^{200}=\left(3^2\right)^{100}=9^{100}\)

Vì \(8^{100}

      Gọi 2 phân số là \(\frac{a}{9}\) và \(\frac{a+1}{9}\)

Theo đề ta có: \(\frac{a}{9}

\(\frac{4}{7}=\frac{4.9}{7.9}=\frac{36}{63}\)

Gọi 2 phân số cần tìm là: \(\frac{a}{9}=\frac{7a}{63};\frac{b}{9}=\frac{7b}{63}\) trong đó a; b là 2 số tự nhiên liên tiếp 

Theo đề bài: \(\frac{7a}{63}

\(=3^n.3^2+3^n-2^n.2^2-2^n=3^n\left(9+1\right)-2^n\left(4+1\right)=10.3^n-2^n.5\)

ta thấy 10. 3^n chia hết cho 10 với mọi n 

ta có: n thuộc Z+ <=> n>=1 => \(2^n=2.2....2_n\Rightarrow2^n.5=2.5.2...2_n=10.2..2_n\) chia hết cho 10

=> điều phải chứng mình

    Gọi các cạnh của tứ giác là a,b,c,d ta có:

 a+b+c+d = 180(cm;m;dm;......)               và  \(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=\frac{d}{8}\)

 Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau được: \(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=\frac{d}{8}=\frac{a+b+c+d}{2+3+5+8}=\frac{180}{18}=10\)

 => a=20 ; b=30; c=50 ; d=80

\(=9.3^n+3^n-8.2^{n-1}-2.2^{n-1}=10.3^n-10.2^{n-1}\)

chia hết cho 10

Vậy sau 1 tháng trang trại đó còn lại số gà bằng :

\(1-\frac{3}{5}=\frac{2}{3}\) (số gà lúc đầu)

Vậy sau 1 tháng trang trại đó còn lại số vịt bằng :

\(1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\) (số vịt lúc đầu)

Ta có \(\frac{2}{3}\) số gà lúc đầu + \(\frac{1}{3}\) số vịt lúc đầu = 516 con.

Và số gà lúc đầu + số vịt lúc đầu = 1398 con

\(\Rightarrow\frac{1}{3}\) số gà lúc đầu + \(\frac{2}{3}\) số vịt lúc đầu = 882 con.

......

Gọi a là gà, b là vịt ta có:

 a+b=1398

 a x (1-3/5) + b x (1-2/3) = 516

=> a x 2/5 + b x 1/3 = 516

=> (a+b)-(a x 2/5 + b x 1/3) = 1398 - 516

=> a x 3/5 + b x 2/3 = 882

 Vậy (a x 3/5 + b x 2/3)-(a x 2/5 + b x 1/3) = 882 - 516

  => a x 1/5 + b x 1/3 = 366

=> (a x 2/5 + b x 1/3)-(a x 1/5 + b x 1/3) =516 - 366

=> a x 1/5 = 150

Vậy a = 150 : 1/5 =750

b = 1398 - 750=648

 Đáp số: Gà 750 con

              Vịt: 648 con

Gọi phân số đó là \(\frac{a}{b}\) (a; b khác 0)

ta có: a+ b = 378

và \(\frac{a}{b}\) = \(\frac{2}{7}\) => \(\frac{a}{2}=\frac{b}{7}\). Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{2}=\frac{b}{7}=\frac{a+b}{2+7}=\frac{378}{9}=42\)

=> a = 42.2 = 84

b = 42 . 7 = 294

ĐS:...

Tổng số phần là :

2 + 7 = 9 ( phần )

Tử số của phân số đó là :

378 : 9 x 2 = 84

Mẫu số của phân số đó là :

378 - 84 = 294

Vậy phân số đó là \(\frac{84}{294}\)