Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski,ta có :

\(\left(a+b+c+1\right)^2=\left(a.1+\sqrt{3}.\frac{b+c+1}{\sqrt{3}}\right)^2\le\left(a^2+3\right)\left[1+\frac{\left(b+c+1\right)^2}{3}\right]\)

Từ đó bài toán đưa về :

\(\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left[1+\frac{\left(b+c+1\right)^2}{3}\right]\)

\(\Leftrightarrow b^2c^2+3b^2+3c^2+9\ge4+\frac{4}{3}\left(b^2+c^2+2bc+2b+2c+1\right)\)

\(\Leftrightarrow b^2c^2+\frac{5}{3}b^2+\frac{5}{3}c^2+\frac{11}{3}\ge\frac{8}{3}bc+\frac{8}{3}b+\frac{8}{3}c\)

\(\Leftrightarrow b^2c^2+1-2bc+\frac{b^2+c^2-2bc}{3}+\frac{4}{3}\left(b^2-2b+1\right)+\frac{4}{3}\left(c^2-2c+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(bc-1\right)^2+\frac{\left(b-c\right)^2}{3}+\frac{4}{3}\left(b-1\right)^2+\frac{4}{3}\left(c-1\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1

Vậy ....

gọi A là VT

Ta có : \(A=\left[\frac{1}{2}\left(\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2}\right)-x^4y^4\right]+\left[\frac{1}{4}\left(x^{16}+y^{16}\right)-2x^2y^2\right]-1\)

Áp dụng BĐT Cô-si,ta có :

\(\frac{1}{2}\left(\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2}\right)\ge\frac{1}{2}2\sqrt{\frac{x^{10}}{y^2}.\frac{y^{10}}{x^2}}=x^4y^4\Rightarrow\frac{1}{2}\left(\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2}\right)-x^4y^4\ge0\)

\(\frac{x^{16}+y^{16}}{4}\ge\frac{x^8y^8}{2}=\left(\frac{x^8y^8}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{2}\ge4\sqrt[4]{\frac{x^8y^8}{16}}-\frac{3}{2}==2x^2y^2-\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{4}\left(x^{16}+y^{16}\right)-2x^2y^2\ge\frac{-3}{2}\)

Từ đó ta có : \(A\ge0-\frac{3}{2}-1=\frac{-5}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x^2y^2=1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=\pm1}\)

k bt lm

cách lm nữa bn

Chắc khó nhất ở chỗ: khử abc 

Theo dirichlet

a(b-1)(c-1) \(\ge0\)

=> abc  \(\ge\)ab + ac - a 

Thay vào ta có: \(25\left(a^2+b^2+c^2\right)+54abc+36\ge25\left(a^2+b^2+c^2\right)+54\left(ab+bc-a\right)^2+36\)

Ta cần chứng minh: 

\(25\left(a^2+b^2+c^2\right)+54\left(ab+ac-a\right)+36\ge6\left(a+b+c\right)+49\left(ab+bc+ac\right)\) (1)

Đến đây thì có thể dùng nhiều cách: Vì mình cũng dễ thấy nghiệm có a = b = c = 1

Dùng trung bình nhân  ( hoặc cách khác) 

SOS forever!

VT - VP

\(=\frac{\left(54bc+50a-49b-49c-6\right)^2}{100}-\frac{9\left(54bc+b-49c-6\right)^2\left(6c-11\right)}{5400c+100}+\frac{1350c\left(c-1\right)^2}{54c+1}\)

\(=\frac{\left(50a+50b-49c-6\right)^2}{100}+\frac{99\left(c-6\right)^2}{100}+9ab\left(6c-11\right)\)

Từ 2 đẳng thức trên có đpcm. Nếu muốn thì em gộp lại thành 1 biểu thức SOS giống a cho đẹp :D Tại hôm nay làm biếng nên viết tách ra, gộp mất công dò lại nhiều:v

tự làm đcj ko,khó ghê.

chúc hok tốt nha

thấy sai sai chỗ nao đó nhé ai ra câu  hỏi sữa dùm cái đi

Mình nghĩ VP là -30

\(\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}=3x^2-12x+14\left(1\right)\)

ĐKXĐ: \(\frac{3}{2}\le x\le\frac{5}{2}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(VT=\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}\le\sqrt{2\left(2x-3+5-2x\right)}=2\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\sqrt{2x-3}=\sqrt{5-2x}\Leftrightarrow x=2\)

Ta lại có VP=3x²-12x+14=3(x-2)²+2 >=2

Dấu "=" xảy ra khi x=2

Do đó VT=VP <=> x=2 (ttmđk)

Vậy S={2}