\(\hept{\begin{cases}3kx-2y=9\\-8x+3ky=7\end{cases}}\)(I)

Hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất khi:

\(\frac{a}{a'}\ne\frac{b}{b'}\)

\(\Rightarrow\frac{3k}{-8}\ne\frac{-2}{3k}\)

\(\Leftrightarrow3k.3k\ne\left(-2\right).\left(-8\right)\)

\(\Leftrightarrow9k^2\ne16\)

\(\Leftrightarrow k^2\ne\frac{16}{9}\)

\(\Leftrightarrow k\ne\frac{4}{3}\)hoặc \(k\ne-\frac{4}{3}\)

Vậy \(k\ne\frac{4}{3}\)và   \(k\ne-\frac{4}{3}\) thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất.

Họcc tốtt.

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi \(\frac{3}{m}\ne\frac{m}{-1}\)

\(\Leftrightarrow m^2\ne-3\forall m\)

Vậy hpt luôn có nguyên duy nhất với mọi m

bảo ngọc đàm đg

Xét 

\(\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+m-6\right)=4m^2+4m+1-4m^2-4m+24=25>0\)

Vậy phương trình luôn có nghiệp với \(\forall m\)

Theo Viete ta có ngay \(x_1+x_2=2m+1;x_1x_2=m^2+m-6\)

Ta có biến đổi sau:

\(x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2=\left(2m+1\right)^2-3\left(m^2+m-6\right)\)

\(=4m^2+4m+1-3m^2-3m+18\)

\(=m^2-m+19=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+18,75>0\) 

Vậy \(\left|x_1^3+x_2^3\right|=\left|m^2-m+19\right|=m^2-m+19\)

Khi đó ta có được \(m^2-m+19=50\Leftrightarrow m^2-m-31=0\)

Đến đây dễ rồi nè :)

\(2x+6y=\frac{x}{y}-\sqrt{x-2y}\)

\(\Leftrightarrow x-2y-y\sqrt{x-2y}-6y^2=0\)

Đến đây ta có thể biểu diễn đại lượng \(\sqrt{x-2y}\)bởi các biểu thức đơn giản hơn bài toán đã gần như được hoàn thành. Thật vậy,

• Nếu \(\sqrt{x-2y}=-2y\)(*) thì từ pt thứ 2 ta có:

\(\sqrt{x-2y}=x+3y-2\Leftrightarrow-2y=x+3y-2\Leftrightarrow x=2-5y\)

Tiếp tục thay vào (*) ta có: \(\sqrt{2-7y}=-2y\)

Giải pt này kết hợp với điều kiện ta có nghiệm (x;y)=(12;-2)

• Nếu \(\sqrt{x-2y}=3y\)(**) thì từ pt hai ta có

\(\sqrt{x+3y}=x+3y-2\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+3y}-2\right)\left(\sqrt{x+3y}+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+3y=4\). Thay vào (**) ta được \(\sqrt{4-5y}=3y\)

Tiến hành giải và so sanh điều kiện ta có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(\frac{8}{3};\frac{4}{9}\right)\)

Vậy hệ pt có 2 nghiệm (x;y)=(12;-2); \(\left(\frac{8}{3};\frac{4}{9}\right)\)

KHÓ QUÁ KẾT MÌNH ĐI

Nhận xét: VP > 0 => VT > 0  mà \(\sqrt{x^2+1}\ge1\Rightarrow\sqrt{x^2-1}-1\ge0\)

=> 2 x > 0 => x > 0

Liên hợp

pt <=> \(2x\left(\sqrt{x^2+1}-2\right)-\sqrt{3\left(x^2+1\right)}+2x=0\)

<=> \(2x\frac{x^2-3}{\sqrt{x^2+1}+2}+\frac{x^2-3}{2x+\sqrt{3\left(x^2+1\right)}}=0\)

<=> \(\left(x^2-3\right)\left(\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}+2}+\frac{1}{2x+\sqrt{3\left(x^2+1\right)}}\right)=0\)

<=> \(x^2-3=0\)( vì x > 0)

<=> \(x=\pm\sqrt{3}\)mà x> 0 nên x = \(\sqrt{3}\)

Vậy...

Điều kiện x>0; y\(\ne\)0

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{y}{x}=\frac{2\sqrt{x}}{y}+2\Leftrightarrow\sqrt{x}+y^2=2x\sqrt{x}+2xy\Leftrightarrow y^2+y\left(\sqrt{x}-2x\right)-2x\sqrt{x}=0\)

Xem đây là hpt bậc hau theo biến y, ta có:

\(\Delta_x=\left(\sqrt{x}-2x\right)^2+8x\sqrt{x}=x+4x\sqrt{x}+4x^2=\left(\sqrt{x}+2x\right)^2>0\)

Do đó, phương trunhf này có 2 nghiệm là:

\(y_1=\frac{\left(2x-\sqrt{x}\right)-\left(\sqrt{x}+2x\right)}{2}=-\sqrt{x},y_2=\frac{\left(2x-\sqrt{x}\right)+\left(\sqrt{x}+2x\right)}{2}=2x\)

xét 2 trường hopej

-Nếu \(y=-\sqrt{x}\)thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

\(-\sqrt{x}\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)=\sqrt{3x^2+3}\)

Dễ thấy: \(-\sqrt{x}\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)< 0< \sqrt{3x^2+3}\)nên phương trình này vô nghiệm

Nếu y=2x, thay vào pt thứ 2 của hệ ta được

\(2x\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)=\sqrt{3x^2+3}\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}\left(2x-\sqrt{3}\right)=2x\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}=\frac{2x}{2x-\sqrt{3}}\)(*)

(dễ thấy \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)ktm đẳng thức nên chỉ xét \(x\ne\frac{\sqrt{3}}{2}\)và phép biến đổi trên là phù hợp)

Xét 2 hàm số \(f\left(x\right)=\sqrt{x^2+1},x>0\)và \(g\left(x\right)=\frac{2x}{2x-\sqrt{3}};x>0\)

Ta có \(f'\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}>0\)nên là hàm đồng biến \(g'\left(x\right)=\frac{-2\sqrt{3}}{\left(2x-\sqrt{3}\right)^2}< 0\)nên là hàm nghịch biến

=> PT (*) không có quá 1 nghiệm

Nhẩm thấy x=\(\sqrt{3}\)thỏa mãn (*) nên đây cũng là nghiệm duy nhất của (*)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là: \(\left(x;y\right)=\left(\sqrt{3};2\sqrt{3}\right)\)

HIUPO9U-0O=-7TGYFGFYGUYIYH9IU9IU9UJ9