Xét \(\Delta=\left(5m-1\right)^2-4\left(6m^2-2m\right)\)

\(=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\ge0,\forall m\)

=> Phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

1. Cho bt P= (1/√x+2 + 1/√x-2 ) . √x-2/√x với x>0, x khác 4

a) rút gọn P

b) tìm x để P>1/3

c) tìm các giá trị thực của x để Q=9/2P có giá trị nguyên

2. Cho 2 biểu thức

A= 1-√x / 1+√ x và B= ( 15-√x/ x-25 + 2/√x+5) : √x+1/√ x-5 với x lớn hơn hoặc bằng 0, x khác 25

a) tính giá trị của A khi x= 6-2√5

b) rút gọn B

c) tìm a để pt A-B=a có nghiệm

chúc bạn học tốt

Bài 1 :

\(a,P=\left(\frac{x}{x^2-36}-\frac{x-6}{x^2+6x}\right):\frac{2x-6}{x^2+6x}=\left[\frac{x}{\left(x+6\right)\left(x-6\right)}-\frac{x-6}{x\left(x+6\right)}\right]:\frac{2x-6}{x\left(x+6\right)}\)

\(=\frac{x^2-\left(x-6\right)^2}{x\left(x+6\right)\left(x-6\right)}.\frac{x\left(x+6\right)}{2x-6}=\frac{6\left(2x-6\right)}{x\left(x+6\right)\left(x-6\right)}.\frac{x\left(x+6\right)}{2x-6}\)

\(=\frac{6}{x-6}\)

\(b,\)Với \(x\ne-6;x\ne6;x\ne0;x\ne3\)  Thì

\(P=1\Rightarrow\frac{6}{X-6}=1\Rightarrow6=x-6\Rightarrow x=12\)(Thỏa mãn \(ĐKXĐ\))

\(c,\)Ta có :

\(P< 0\Rightarrow\frac{6}{X-6}< 0\Rightarrow X-6< 0\Rightarrow X< 6\)

Do :  \(x\ne-6;x\ne6;x\ne0;x\ne3\)  ,Nên với \(x< 6\)và  \(x\ne-6;x\ne0;x\ne3\)  thì \(P< 0\)

\(\sqrt{29-x}+\sqrt{x+3}=x^2-26x+177\left(1\right)\)

ĐK -3 =<x =<29

Với mọi a,b >=0 ta có:

\(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)

Thay \(a=\sqrt{29-x};b=\sqrt{x+3}\)ta có:

\(\sqrt{29-x}+\sqrt{x+3}\le\sqrt{2\left(29-x+x+3\right)}=8\)

\(x^2-26x+177=\left(x-13\right)^2+8\ge8\)

\(\Rightarrow\sqrt{29-x}+\sqrt{x+3}\le x^2-26x+177\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{29-x}=\sqrt{x+3}\\x-13=0\end{cases}\Leftrightarrow x=13}\)

Do đó (1) <=> x=13 (tm)

Có vẻ giống bài tổng quat của sqing bên AoPS. Mặc dù sqing nói chưa biết bài tổng quát này đúng hay sai:

Cho a, b, c, d là các số thực và \(k\ge3\). Chứng minh (hay phản chứng minh):

\(\left(a^2+k\right)\left(b^2+k\right)\left(c^2+k\right)\left(d^2+k\right)\ge\left(k+1\right)^2\left(a+b+c+d+k-3\right)^2\)

Nguồn: https://artofproblemsolving.com/community/c6h19666p10662432

Mà t nghĩ làm tìm min:v

ăn đầu buồi

\(_{\hept{\begin{cases}x^2y+2y+x=4xy\\\frac{1}{x^2}+\frac{1}{xy}+\frac{x}{y}=3\left(2\right)\end{cases}}}\left(1\right)\)

Đk: x; y khác 0 

(1) <=> \(x+\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=4\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=4\) (3)

(2) <=> \(\left(\frac{1}{x^2}+1\right)+\left(\frac{1}{xy}+\frac{x}{y}\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(1+x^2\right)}{x^2}+\frac{\left(1+x^2\right)}{xy}=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=4\) (4) 

Từ (3) ; (4)  ta có: 

\(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{x}=2\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=1\)

Theo đề ta có hệ : 

\(\hept{\begin{cases}2x-y=3\\x+y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{4}{3}\\y=-\frac{1}{3}\end{cases}}\)

=> \(\left(2m-1\right)\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=-0,5\)

<=> m = 7/16

Cm \(3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(a^2c+b^2a+c^2b\right)\ge abc\left(a+b+c\right)^3\)

Do 2 vế BĐT đồng bậc nên ta chuẩn hóa \(a+b+c=3\)

BĐT <=> \(3\left[abc\left(a^3+b^3+c^3\right)+\left(a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3\right)+a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)\right]\ge27abc\)

<=>\(3\left[abc\left(a^3+b^3+c^3\right)+\left(a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3+3a^2b^2c^2\right)\right]\ge27abc\)

Áp dụng BĐT Schur ta có:

\(a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3+3a^2b^2c^2\ge ab^2c\left(ab+bc\right)+a^2bc\left(ab+ac\right)+abc^2\left(ac+bc\right)\)

Khi đó BĐT 

<=>\(3\left(a^3+b^3+c^3\right)+3a^2\left(b+c\right)+3b^2\left(a+c\right)+3c^2\left(a+b\right)\ge27\)

<=> \(3\left(a^3+b^3+c^3\right)+3a^2\left(3-a\right)+3b^2\left(3-b\right)+3c^2\left(3-c\right)\ge27\)

<=> \(a^2+b^2+c^2\ge3\) luôn đúng do \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=3\)( ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Bài 2 

Áp dụng \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

=> \(VT\ge\frac{|a+1-b|+|b+1-c|+|c+1-a|}{\sqrt{2}}\)

Áp dụng BĐT \(|x|+|y|+|z|\ge|x+y+z|\)

=> \(VT\ge\frac{|a+1-b+b+1-c+c+1-a|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)