Đề thi Olympic 30/4 Môn Toán 2018 lần thứ XXIV

Vài dòng đầu tớ chứng minh BĐT phụ bạn có thể làm trực tiếp luôn nhé ! Dùng phương pháp tiếp tuyến là OK thôi !

Ta dễ có các biến đổi sau:

\(\sqrt{a^2-a+1}\left(a^2+a+1\right)=\sqrt{\left(a^2-a+1\right)\left(a^2+a+1\right)\left(a^2+a+1\right)}\)

\(=\sqrt{\left(a^4+a^2+1\right)\left(a^2+a+1\right)}\)

\(=\sqrt{\left[\left(a^2+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\left[\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]}\)

\(\ge\left(a^2+\frac{1}{2}\right)\left(a+\frac{1}{2}\right)+\frac{3}{4}\)

\(=\frac{2a^3+a^2+a+2}{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2-a+1}\ge\frac{2a^3+a^2+a+2}{2\left(a^2+a+1\right)}=a-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\left(\frac{1}{a^2+a+1}\right)\)

Chứng minh tương tự ta có được các bất đẳng thức sau:

\(\sqrt{b^2-b+1}=b-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{b^2+b+1};\sqrt{c^2-c+1}=c-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{c^2+c+1}\)

Như vậy ta cần chứng minh \(\frac{1}{a^2+a+1}+\frac{1}{b^2+b+1}+\frac{1}{c^2+c+1}\ge1\) với abc = 1

Đây là BĐT Vacs quen thuộc !!!! Bạn làm câu hỏi của mình có câu trả lời của tth_new có dùng Vacs và mình đã làm rồi nha !!!!!

MÌNH CŨNG KO BIẾT BẠN BIẾT CHỈ MÌNH VỚI NHA

mày cũng ngu

óc chó ngu

ĐKXĐ : \(0\le x\le4\)

Đặt \(\sqrt{2+\sqrt{x}}=a;\sqrt{2-\sqrt{x}}=b\)( a,b \(\ge\)0 )

\(\Rightarrow ab=\sqrt{4-x};a^2+b^2=4\)

PT đã cho trở thành : \(\frac{a^2}{\sqrt{2}+a}+\frac{b^2}{\sqrt{2}-b}=\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow a^2\sqrt{2}-a^2b+b^2\sqrt{2}+ab^2=\sqrt{2}\left(2-b\sqrt{2}+a\sqrt{2}-ab\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(a^2+b^2-2+ab\right)-ab\left(a-b\right)=2\left(a-b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(ab+2\right)=\sqrt{2}\left(2+ab\right)\)

vì ab + 2 \(\ne\)0 nên a - b = \(\sqrt{2}\)

Bình phương hai vế, ta có :
\(a^2-2ab+b^2=2\Rightarrow ab=1\)

\(\Rightarrow\sqrt{4-x}=1\)

từ đó tìm được x = 3 ( thỏa mãn )

có ai trả lời không

bn tính delta xong xét đk là đc nhé xD lười quá

*) xét pt hoành độ giao điểm của d và (P)

-x²=2x+m-1

<=> \(x^2+2x+m-1=0\left(1\right)\)

Có \(\Delta'=1-m+1=2-m\)

*) Để d giao với (P) tại 2 điểm phân biệt

<=> pt (1) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)

<=> \(\Delta'>0\Leftrightarrow m< 2\)

*) áp dụng Vi-et \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{-b}{2a}=-1\\x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1\end{cases}}\)

*) Có: \(x_1^3-x_2^3+x_1x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\right]+x_1x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(5-m\right)=5-m\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1-x_2=1\\x_1+x_2=-1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1=\frac{-1}{2}\\x_2=\frac{-3}{2}\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow m-1=x_1x_2=\left(\frac{-1}{2}\right)\left(\frac{-3}{2}\right)=\frac{3}{4}\)

<=> \(m=\frac{7}{4}\)(tmđk m<2)

Vừa nãy mình viết nhầm Vi-et. Mình làm lại

Xét pt hoành độ của d và (P) có:

\(-x^2=2x+m-1\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+m-1=0\left(1\right)\)

Có \(\Delta'=1-m+1=2-m\)

Để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt <=> pt (1) có 2 nghiệm phân biệt

<=> \(\Delta'>0\Leftrightarrow m< 2\)

Theo Vi-et ta có:

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-2\\x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1\end{cases}}\)

Có \(x_1^3-x_2^3+x_1x_2=4\)

<=> \(\left(x_1-x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\right]+x_1x_2=4\)

<=> \(\left(x_1-x_2\right)\left(5-m\right)=5-m\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x_1-x_2=1\\x_1+x_2=-1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1=\frac{-1}{2}\\x_2=\frac{-3}{2}\end{cases}}}\)

=> m-1=\(x_1x_2=\left(\frac{-1}{2}\right)\left(\frac{-3}{2}\right)=\frac{3}{4}\)

<=> \(m=\frac{7}{4}\)(tmđk)