ĐK: x>=0. Nhận thấy x=0 không phải nghiệm của phương tình chia cả 2 vế cho x ta có:

\(x^2-2x-x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+4=0\)

\(\Leftrightarrow x-2-\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{4}{x}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{4}{x}\right)-\left(\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}\right)-2=0\)

Đặt \(\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}=t>0\Leftrightarrow t^2=x+4+\frac{4}{x}\Leftrightarrow x+\frac{4}{x}=t^2-4\)thay vào ta có:

\(\left(t^2-4\right)-t-2=0\Leftrightarrow t^2-t-6=0\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(t+2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=3\\t=-2\end{cases}}\)

Đối chiếu đk của t

=> t=3 \(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}=3\Leftrightarrow x-3\sqrt{x}+2=0\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=4\\x=1\end{cases}}\)

Vậy x={4;1}

gọi lượng nước có trong dung dịch đầu tiền là x lít ; lượng axit có trong dung dịch đầu tiên là y lít ( x,y > 0 )

Sau khi thêm 1 lít axit vào dung dịch thì nồng độ của dung dịch là 40% nên ta có phương trình :

\(\frac{y+1}{x+y+1}=\frac{2}{5}\Leftrightarrow2x-3y=3\)( 1 )

Sau khi thêm vào dung dịch mới 1 lít nước thì nồng độ của dung dịch là \(33\frac{1}{3}\%\)nên ta có phương trình :

\(\frac{y+1}{x+y+2}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x-2y=1\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có HPT : \(\hept{\begin{cases}2x-3y=3\\x-2y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}}\)

Vậy nồng độ axit trong dung dịch đầu tiền là : \(\frac{x}{x+y}.100\%=\frac{1}{1+3}.100\%=25\%\)

Đặt S=\(\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+2xy+y^2}{xy}=\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{xy}+2\)

Áp dụng BĐT Cosi ta có: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow xy< \frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)

Do đó \(S\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{4\left(x^2+y^2\right)}{\left(x+y\right)^2}+2\ge2\sqrt{\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}\cdot\frac{4\left(x^2+y^2\right)}{\left(x+y\right)^2}}+2=6\)

Dấu "=" xảy ra <=> x=y

Vậy Min_S=6 đạt được khi x=y

Ta có: 

\(\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}\)

= \(\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\)

\(\ge\left(x+y\right)^2.\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{4xy}{2xy}=6\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y 

Vậy min \(\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}\)= 6 đạt tại x = y.

\(\frac{5}{a+b\sqrt{2}}-\frac{4}{a-b\sqrt{2}}+18\sqrt{2}=3\)

<=> \(\frac{5\left(a-b\sqrt{2}\right)}{a^2-2b^2}-\frac{4\left(a+b\sqrt{2}\right)}{a^2-2b^2}+18\sqrt{2}=3\) trục căn thức

<=> \(\frac{5a}{a^2-2b^2}-\frac{5b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}-\frac{4a}{a^2-2b^2}-\frac{4b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}+18\sqrt{2}=3\)

Vì a; b nguyên => \(\hept{\begin{cases}\frac{5a}{a^2-2b^2}-\frac{4a}{a^2-2b^2}=3\\-\frac{5b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}-\frac{4b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}+18\sqrt{2}=0\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{a^2-2b^2}=3\\\frac{9b}{a^2-2b^2}=18\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{a^2-2b^2}=3\\\frac{b}{a^2-2b^2}=2\end{cases}}\)

Với b = 0 => loại 

Với b khác 0: 

=> \(\frac{a}{b}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=\frac{3}{2}b\)

=> \(\frac{b}{\frac{9}{4}b^2-2b^2}=2\)=> b = 2 => a = 3  thử lại  thỏa mãn 

Vậy a = 3 và b = 2.

\(\frac{5}{a+b\sqrt{2}}-\frac{4}{a-b\sqrt{2}}+18\sqrt{2}=3\)

\(\Leftrightarrow5a-5b\sqrt{2}-4a-4b\sqrt{2}+18\sqrt{2}\left(a^2-2b^2\right)=3\left(a^2-2b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow5a-5b\sqrt{2}-4a-4b\sqrt{2}+18a^2\sqrt{2}-36b^2\sqrt{2}=3a^2-6b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(18a^2-36b^2-9b\right)\sqrt{2}=3a^2-6b^2-a\)

-Nếu \(18a^2-36b^2-9b\ne0\Rightarrow\sqrt{2}=\frac{3a^2-6b^2-a}{18a^2-36b^2-9b}\)

Vì a,b nguyên nên \(\frac{3a^2-6b^2-a}{18a^2-36b^2-9b}\inℚ\Rightarrow\sqrt{2}\inℚ\)=> Vô lý vì \(\sqrt{2}\)là số vô tỷ

-Vậy ta có: \(18a^2-36b^2-9b=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}18a^2-36b^2-9b=0\\3a^2-6b^2-a=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3a^2-6b^2=\frac{3}{2}b\\3a^2-6b^2=2\end{cases}}\Leftrightarrow a=\frac{3}{2}b}\)

Thay a=\(\frac{3}{2}b\)vào \(3a^2-6b^2-a=0\)

ta có \(3\cdot\frac{9}{4}b^2-6b^2-\frac{3}{2}b=0\Leftrightarrow27b^2-6b=0\Leftrightarrow3b\left(b-2\right)=0\)

Ta có b=0 (loại), b=2 (tm) => a=3

Vậy b=2; a=3