Với x,y,z là các số thực dương sao cho \(x.y.z=\frac{1}{6}\). Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{x^3+8y^3+1}+\frac{1}{8y^3+27z^3+1}+\frac{1}{27z^3+x^3+1}\le1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
SO
3
15 tháng 7 2020
@AZM: Thật không may dấu "=" không xảy ra bạn nhé :))
Ta có:\(S=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}\)
Đặt \(a=\frac{x^2+y^2}{xy}\ge\frac{2\sqrt{x^2y^2}}{xy}=2\)
Khi đó:\(S=a+\frac{1}{a}=\left(\frac{a}{4}+\frac{1}{a}\right)+\frac{3a}{4}\ge2\sqrt{\frac{a}{4}\cdot\frac{1}{a}}+\frac{3\cdot2}{4}=\frac{5}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y
15 tháng 7 2020
Bài làm:
Ta có: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}\ge2\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2\right)}{xy}.\frac{xy}{\left(x^2+y^2\right)}}=2.1=2\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y\)
Vậy GTNN biểu thức là 2 khi \(x=y\)
Học tốt!!!!
LD
0
DG
0
đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x;2y;3z\right)\)\(\Rightarrow\)\(abc=1\)
bđt \(\Leftrightarrow\)\(\Sigma\frac{1}{a^3+b^3+1}\le1\)
\(VT\le\Sigma\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\Sigma\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=1\)