1111...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số =n

+ Nếu 111..1 chia hết cho 3 thì tổng các chữ số là n chia hết cho 3 nên 1111..1 - n chia hết cho 3

+ Nếu 1111...1 (n chữ số 1) chia 3 dư 1 thì 1111...1-1=1111...10 (n-1 chữ số 1) chia hết cho 3 nên tổng các chữ số là n-1 chia hết cho 3

=> 111...1 - n = 111...10 -(n-1) chia hết cho 3

+ Nếu 1111...1 (n chữ số 1) chia 3 dư 2 thì 1111...1 +1 = 11111...12 (n-1 chữ số 1) chia hết cho 3 nên tổng các chữ số là n-1+2=n+1 chia hết cho 3

=> 1111...1 -n = 1111...12 -(n+1) chia hết cho 3

=> 1111..1 - n chia hết cho 3 với mọi n

Kẻ \(AM\perp BC\). Gọi giao điểm của AM và BD là G

Xét \(\Delta ABC\)có hai đường trung tuyến AM và BD cắt nhau tại G 

=> G là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

\(\Leftrightarrow\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}\)(1)

Xét \(\Delta ABK\)có \(BG\perp AK;AM\perp BK\left(gt\right)\)cắt nhau tại G

=> G là trực tâm của \(\Delta ABK\)

=> GK là đường cao thứ ba ( vuông góc với AB )

=> GK // AC

=> KC / MK = 2 / 3 (2)

=>  kết hợp 1 vs 2  => dpcm

\(\frac{x+1}{x^2+x+1}-\frac{x-1}{x^2-x+1}=\frac{3}{x\left(x^4+x^2+1\right)}\) (ĐK: \(x\ne0\))

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)-\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=\frac{3}{x\left(x^4+x^2+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^3+1-\left(x^3-1\right)}{x^4+x^2+1}=\frac{3}{x\left(x^4+x^2+1\right)}\)

\(\Rightarrow2x=3\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\left(tm\right)\).

Đặt \(x-7=t\).

Phương trình ban đầu tương đương với: 

\(\left(t+1\right)^4+\left(t-1\right)^4=16\)

\(\Leftrightarrow t^4+4t^3+6t^2+4t+1+t^4-4t^3+6t^2-4t+1=16\)

\(\Leftrightarrow t^4+6t^2-7=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t^2+7\right)\left(t^2-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=1\Rightarrow x=8\\t=-1\Rightarrow x=6\end{cases}}\)

\(\frac{a^2+b^2}{a-b}\ge2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+\left(\frac{1}{a}\right)^2}{a-\frac{1}{a}}\ge2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^4+1}{a^3-a}\ge2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow a^4-2\sqrt{2}a^3+2\sqrt{2}a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-\sqrt{2}a-1\right)^2\ge0\)( đúng )

Dấu = xảy ra khi:

\(a^2-\sqrt{2}a-1^2=0\)

\(\Rightarrow a=\sqrt{2+\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow b=\sqrt{2-\sqrt{3}}\)

\(x^2+x-2=9y\)

Với \(y\ne0\)suy ra \(x^2+x-2⋮9\).

- \(x=3k\left(k\inℤ\right)\Rightarrow x^2+x-2=9k^2+3k-2⋮̸3\).

- \(x=3k+1\left(k\inℤ\right)\Rightarrow x^2+x-2=9k^2+9k=9y\).

\(\Leftrightarrow y=k^2+k\).

Suy ra nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(3k+1,k^2+k\right),\left(k\inℤ\right)\).

- \(x=3k+2\left(k\inℤ\right)\Rightarrow x^2+x-2=9k^2+15k+4⋮̸3\).

Với \(y=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-2\end{cases}}\).

Vậy phương trình có nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(3k+1,k^2+k\right),\left(k\inℤ\right)\).

\(x^2+5y^2-4xy-5y+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(y^2-4y+4\right)-y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y-2\right)^2-y=0\)

.....Làm nốt

\(a^3+2b^3+c^3\ge b^2\left(a+c\right)+b\left(a^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+2b^3+c^3-b^2\left(a+c\right)-b\left(a^2+c^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3-b^2a-ab^2\right)+\left(c^3+b^3-b^2c-bc^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)^2\ge0\)( đúng )
Vậy ta có ĐPCM