K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

24 tháng 1 2022

\(P=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right).\sqrt{1+x^2y^2}\)

\(\rightarrow P>2.\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}.\sqrt{1+\left(xy\right)^2}\)

\(\rightarrow P>2.\sqrt{\frac{1}{xy}}.\sqrt{1+\left(xy\right)^2}\)

\(\rightarrow P>2\sqrt{\frac{1}{xy}+xy}\)

Đặt \(xy=t\)

\(\rightarrow P>2\sqrt{\frac{1}{t}+t}\)

Ta có :

\(1>x+y>2\sqrt{xy}\)

\(\rightarrow\sqrt{xy}< \frac{1}{2}\)

\(\rightarrow xy< \frac{1}{4}\)

\(\rightarrow t< \frac{1}{4}\)

Lại có :

\(\frac{1}{t}+t=\frac{15}{16t}+\left(\frac{1}{16}+t\right)\)

\(\rightarrow\frac{1}{t}+t>\frac{15}{16.\frac{1}{4}}+2\sqrt{\frac{1}{16}.t}\)

\(\rightarrow\frac{1}{t}+t>\frac{17}{4}\)

\(\rightarrow B>2.\sqrt{\frac{17}{4}}\)

\(\rightarrow B>\sqrt{17}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)