Hệ pt \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+3y=3x-3xy\left(1\right)\\\left(x^2+3y\right)^2+3x^2y-5x^2=0\left(2\right)\end{cases}}\)

Thay (1) vào (2) ta được: \(x^2\left(9y^2-15y+4\right)=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\Rightarrow y=0\\y=\frac{1}{3}\Rightarrow x=1\\y=\frac{4}{3}\Rightarrow x^2+x+4=0\left(VN\right)\end{cases}}\)

CÁM ƠN BẠN NHIỀU, NHƯNG MÌNH LÀM ĐƯỢC BÀI NÀY RỒI, CÁM ƠN VÀ XIN LỖI BẠN !

Ta có: \(\sqrt{\frac{xyz}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)}}\)

\(\le\sqrt{\frac{xyz}{2x\cdot2y\cdot2z}}=\sqrt{\frac{xyz}{8xyz}}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{4}< \frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

=> Không thể xảy ra đẳng thức

=> Đề sai

Đặt biểu thức là (1)

Nhân hai vế của (1) cho \(\left(x-\sqrt{x^2+3}\right)\)ta có:

\(-3\left(y+\sqrt{y^2+3}\right)=3\left(x-\sqrt{x^2+3}\right)\left(2\right)\)

Nhân hai vế của (1) cho \(\left(y-\sqrt{y^2+3}\right)\)ta có:

\(-3\left(x+\sqrt{x^2+3}\right)=3\left(y-\sqrt{y^2+3}\right)\left(3\right)\)

Cộng (2) và (3) ta có: \(-3\left(y+\sqrt{y^2+3}+x+\sqrt{x^2+3}\right)=3\left(x-\sqrt{x^2+3}+y-\sqrt{y^2+3}\right)\)

\(\Leftrightarrow6\left(x+y\right)=0\Leftrightarrow x+y=0\)

Kết luận: x+y=0

Ta có: \(\frac{x}{1+y^2}=x-\frac{xy^2}{1+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2y}=x-\frac{xy}{2}\left(1\right)\)

Tương tự: \(\frac{y}{1+z^2}\ge y-\frac{yz}{2}\left(2\right);\frac{z}{1+x^2}\ge z-\frac{zx}{2}\left(3\right)\)

Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được: \(VT\ge\left(x+y+z\right)-\frac{xy+yz+zx}{2}\ge\left(x+y+z\right)-\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{2}=\frac{3}{2}=VP\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

bài này thêm đk x,y,z dương