Ta có 2n³ + 3n² + n = n(n + 1)(2n + 1)

Vì n và n + 1 là 2 số nguyên liên tiếp nên n(n + 1) chia hết cho 2 nên n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 2 (1)

Vậy để 2n³ + 3n² + n = n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 6 ta cần chứng minh n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 3

Thật vậy

Ta có TH1: n = 3k + 1 (k thuộc Z)

=> (3k + 1)(3k + 2)(6k + 3) chia hết cho 3

         TH2: n = 3k + 2 (k thuộc Z)

=> (3k + 2)(3k + 3)(6k + 5) chia hết cho 3

=> n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2n³ + 3n² + n = n(n + 1)(2n + 1) chia hết 2.3 = 6 với mọi số nguyên n

bạn àm theo cách đòng dư thức á. Nếu bạn không biết làm thì nhắn xuống dưới mình giải dùm

\(\hept{\begin{cases}a+b=17\\\left(a+3\right)\left(b+2\right)=105\end{cases} \Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=17\\ab+2a+3b=99\end{cases}}}\Leftrightarrow b\left(a+1\right)+2\left(a+b\right)=99\Leftrightarrow b\left(18-b\right)=65\Leftrightarrow b^2-18b+65=0\Leftrightarrow\left(b-9\right)^2-16=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=13\\a=4\end{cases}}\)

(a-1)(a-3)(a-4)(a-6)+9 =  [(a - 1)(a- 6)].[(a - 3)(a - 4)] + 9 = (a² - 7a + 6)(a² - 7a + 12) + 9 

=  (a² - 7a )² + 12 (a² - 7a) +  6.(a² - 7a) + 72 + 9 =  (a² - 7a )² + 18. (a² - 7a) + 81 = (a² - 7a )² + 2.9. (a² - 7a) + 9²

= [(a² - 7a )+ 9]² \(\ge\) 0 với mọi a

=> ĐPCM 

\(A=\frac{a^3+2a^2-1}{a^3+2a^2+2a+1}=\frac{a^3+a^2+a^2-1}{\left(a^3+1\right)+\left(2a^2+2a\right)}=\frac{a^2\left(a+1\right)+\left(a-1\right)\left(a+1\right)}{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)+2a\left(a+1\right)}=\frac{\left(a+1\right)\left(a^2+a-1\right)}{\left(a+1\right)\left(a^2+a+1\right)}=\frac{a^2+a-1}{a^2+a+1}\)

b) Gọi d = ƯCLN (a² + a -1; a² + a +1) = > a² + a -1 chia hết cho d và a² + a +1 chia hết cho d

=> (a² + a -1) - (a² + a +1) chia hết cho d hay -2 chia hết cho d = 1 hoặc 2

Nhận xét a² + a + 1 = a(a+1) + 1

Vì a nguyên nên a; (a+1) là hai số nguyên liên tiếp => tích a(a+1) chẵn => a(a+1) + 1 lẻ 

Do đó, d không thể = 2 => d = 1

=> ps rút gọn là ps tối giản 

trần thị loan đúng đấy