ta có góc ACH=gócABC(vì cùng phụ với góc CAB)

MCA=ABC(vì cùng chắn cung AC)

=> góc MCA=ACH hay AC là tia phân giác của góc MCH

\(\sqrt{3x^2+5x+1}-\sqrt{3x^2+5x-7}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3x^2+5x+1}=\sqrt{3x^2+5x-7}\)

ĐKXĐ : ... 

Bình phương hai vế

\(\Leftrightarrow3x^2+5x+1=3x^2+5x-7\)

\(\Leftrightarrow3x^2+5x+1-3x^2-5x+7=0\)

\(\Leftrightarrow0x+8=0\)

\(\Leftrightarrow0=8\left(voli\right)\)

Vậy phương trình vô nghiệm 

2( x² - 2x )² + 3x² - 6x + 1 = 0

<=> 2( x² - 2x )² + 3( x² - 2x ) + 1 = 0

Đặt t = x² - 2x ta được phương trình bậc 2 ẩn t :

2t² + 3t + 1 = 0 (*)

Dễ thấy (*) có a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0 nên có hai nghiệm phân biệt t₁ = -1 ; t₂ = -c/a = -1/2

=> x² - 2x = -1 hoặc x² - 2x = -1/2

<=> x² - 2x + 1 = 0 hoặc x² - 2x + 1/2 = 0

+) x² - 2x + 1 = 0

Δ = b² - 4ac = 4 - 4 = 0

Δ = 0 nên pt có nghiệm kép x₁ = x₂ = -b/2a = 1

+) x² - 2x + 1/2 = 0

Δ = b² - 4ac = 4 - 2 = 2

Δ > 0 nên pt có hai nghiệm phân biệt : \(x_1=\frac{-2+\sqrt{2}}{2};x_2=\frac{-2-\sqrt{2}}{2}\)

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm \(x_1=\frac{-2+\sqrt{2}}{2};x_2=\frac{-2-\sqrt{2}}{2};x_3=1\)

Áp dụng bđt cô si ta có : \(a^2+bc\ge2\sqrt{a^2bc}=2a\sqrt{bc}\)\(< =>\frac{a}{a^2+bc}\le\frac{1}{2\sqrt{bc}}\)

Tương tự và cộng theo vế ta được \(LHS\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\right)\)

Ta sẽ chứng minh bđt phụ sau\(\frac{1}{\sqrt{xy}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Ta thấy  \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}< =>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}\)

Áp dụng bđt phụ trên ta có \(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\right)\le\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\right]\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)}{abc}\le\frac{\frac{1}{2}abc}{abc}=\frac{1}{2}\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra \(< =>a=b=c=3\)

bài này quan trọng là tìm đc cái bđt phụ đó thôi bạn

Áp dụng BĐT\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

Ta Có \(\frac{a}{a^2+bc}\le\frac{a}{4}.\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{bc}\right)\)  và \(a^2+b^2+c^2\le abc\)

\(=>\frac{a}{a^2+bc}\le\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{a}+\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\right)\)

Tương tự các cái khác ta có

\(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+1\right)\)

Ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}\le\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\le1\)

\(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{1}{2}\left(dpcm\right)\)Dấu = xảy ra <=> a=b=c=3 "_"

Học tốt

ABC=90

a,Ta có góc ABC =góc BAC=góc BCA=60^•(ABC là Δ đều ) =>BPA=60^•
Xét ΔBAQ và ΔBAP có 

góc A chung 

góc ABQ=góc BPA(60^•)

=> ΔBAQ~ΔBPA(g.g)

=>BA/PA=AQ/AB

=>BA²=AP.AQ mà AB=BC

=>BC²=AP.AQ(đpcm ) 

b,trên đoạn PA lây điểm M sao cho PM=PB thì ta có Tam giác PMB là tam giác đều 

vì góc ACB=60=PBM=>ABM=PBC

=> tam giác ABM = tam giác CBP(c.g.c)=> AM=PC

=>PB+PC==PM+AM=PA

CH=2R =90

xét jfnfjdmemekekd

Xét đg tròn tâm O đg kính AB tại D

Vì góc ACB là có nội tiếp chắn nửa đường tròn của (O)

=> góc ACB= 90 độ

Xét (I) có góc MCN là góc nội tiếp chắn cung MN

mà góc MCN= 90 độ

=> MN là đường kính của (I)

=> 3 điểm M,I,N thẳng hàng

b) vì Δ CIN cân tại I( IC=IN=R)

=> góc ICN= góc INC

lại có Δ COB cân tại O(OC=OB=R)

=> góc OCB= góc OBC

=> góc INC= góc OBC ( cùng = góc OCB)

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị của 2 đường thẳng MN và AB

=> MN // AB

lại có ID vuông góc với AB

=> ID vuông góc với MN( đpcm)

BHA=90 BHB=90

ta có góc CBM là góc nội tiếp chắn cung CM

         góc MBA là góc nội tiếp chắn cung MA

mà cung CM= cung MA( vì M là điểm chính giữa của cung CA)

=> góc CBM= góc MBA

hay BM là tia phân giác của góc CBA

CM tương tự ta có: AN là tia phân giác của góc CAB

xét tam giác CAB có

2 tia phân giác BM và AN cắt nhau tại I

=> I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CAB

=> CI là tia phân giác của góc ACB(đpcm)