Để đánh số 999 trang của cuốn sách ta cần dùng số chữ số là:

\(9\times1+90\times2+900\times3=2889\) (chữ số) 

Để đáng số 9999 trang của cuốn sách ta cần dùng số chữ số là:

\(9\times1+90\times2+900\times3+9000\times4=522009\) (chữ số)

Ta thấy: \(2889< 3897< 522009\) 

Số chữ số dùng để đánh số trang có 4 chữ số là:

\(3897-2889=1008\) (chữ số)  

Số trang sách có 4 chữ số là:

\(1008:4=252\left(trang\right)\) 

Tổng số trang sách của quyển sách:

\(99+999+252=1251\left(trang\right)\)

Theo đề bài ta có: Để đánh số hết các trang sách cần đánh 3897 chữ số nên số các chữ số để đánh các trang sách có 4 chữ số là: 3897−2889=1008 3897 − 2889 = 1008 chữ số. Suy ra số trang sách có 4 chữ số là: 1008:4=252 1008 : 4 = 252 trang

a) \(S=1+5+5^2+5^3+...+5^{28}\)

\(S=\left(1+5\right)+\left(5^2+5^3\right)+...+\left(5^{27}+5^{28}\right)\)

\(S=1\left(1+5\right)+5^2\left(1+5\right)+...+5^{27}\left(1+5\right)\)

\(S=\left(1+5^2+...+5^{27}\right).6⋮3\left(dpcm\right)\)

b) \(S=1+5+5^2+5^3+...+5^{28}\)

\(\Rightarrow5S=5+5^2+5^3+5^4+...+5^{29}\)

\(\Rightarrow5S-S=\left(5+5^2+5^3+5^4+...+5^{29}\right)-\left(1+5+5^2+5^3+...+5^{28}\right)\)

\(\Rightarrow4S=5^{29}-1\)

\(\Rightarrow4S+1=5^{29}-1+1\)

\(\Rightarrow4S=5^{29}=5^n\)

\(\Rightarrow n=29\)

a) \(S=1+5+5^2+5^3+...+5^{28}\)

\(\Rightarrow S=\left(1+5\right)+5^2\left(1+5\right)+...+5^{27}\left(1+5\right)\)

\(\Rightarrow S=6+5^2.6+...+5^{27}.6\)

\(\Rightarrow S=6\left(1+5^2+...+5^{27}\right)⋮6\)

\(\Rightarrow S=6\left(1+5^2+...+5^{27}\right)⋮3\)

\(\Rightarrow dpcm\)

b) Bạn xem lại đề

Những số tự nhiên chia hết cho 4 là: Những số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4

Những số tự nhiên chia hết cho 4 là: Những số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4

https://olm.vn/thanhvien/15792543190665

Số tự nhiên có 3 chữ số có dạng:  \(\overline{abc}\)

Trong đó a có 2 cách chọn.

               b có 3 cách chọn

               c có 3 cách chọn

  Số các số có 3 chữ số được lập từ các số đã cho là: 

                2 x 3 x 3 = 18 (số) 

           
Kết luận có 18 số có 3 chữ số được lập từ các chữ số 0; 1; 2

Là 0,1,2

Bài 5

5a, A =  1 + 2 + 3 +...+ n

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 2  - 1 = 1

Số số hạng của dãy số trên  là: (n - 1): 1  + 1  = n

A = (n + 1).n : 2

5b, B = 2 + 4 + 6 + 8 +...+ 2n

      B = 2.(1 + 2 + 3 +...+ n)

      B = 2.(n + 1).n: 2

       B = n(n+1)

5c, C = 1 + 3 + 5 + 7 +...+ (2n + 1)

  Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 3 - 1 = 2

   Số số hạng của dãy số trên là: (2n + 1 - 1 ):2 + 1 = n

   C = (2n + 1).n: 2

5d, D = 1 + 4 + 7 + 10 +...+ 2005

      Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 4 - 1 = 3

       Số số hạng của dãy số trên là: (2005 - 1) : 3 + 1 = 669 

        D = (2005 + 1) \(\times\) 669 : 2  = 671007 

Lời giải:
Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p$ không chia hết cho 3. Nghĩa là $p$ chia $3$ dư $1$ hoặc $2$. 

Nếu $p$ chia $3$ dư $1$ thì $2p+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1)\vdots 3$. Mà $2p+1>3$ với mọi $p>3$ nên $2p+1$ không là snt (trái với đề) 

$\Rightarrow p$ chia $3$ dư $2$. Đặt $p=3k+2$ với $k\in\mathbb{N}$
$\Rightarrow 4p+1=4(3k+2)+1=12k+9=3(4k+3)\vdots 3$. Mà $4p+1>3$ nên $4p+1$ là hợp số.

Lời giải:
Để $(2a-2)(a^2+2a+15)$ là snt thì buộc 1 trong 2 thừa số đã cho phải là 1 còn thừa số còn lại là snt.

Hiển nhiên $a^2+2a+15>1$ với mọi $a\in\mathbb{N}$ nên $2a-1=1$

$\Rightarrow a=1$.

Thay $a=1$ vào thì $(2a-1)(a^2+2a+15)=18$ không phải snt.

Vậy không tồn tại $a$ thỏa mãn đề.

\(\left(2a-1\right)\left(a^2+2a+15\right)\left(a\inℕ\right)\)

Đẻ \(\left(2a-1\right)\left(a^2+2a+15\right)\) là số nguyên tố khi và chỉ khi

\(\left\{{}\begin{matrix}2a-1⋮1\\a^2+2a+15⋮1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a-1=1\\a^2+2a+15=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a=2\\a^2+2a+15=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\1^2+2.1+15=1\left(vô.lý\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a\in\varnothing\) 

Ta có:

\(18=2.3^2\\ 16=2^3\\ \RightarrowƯCLN\left(18;16\right)=2\)

Vậy không có đáp án đúng.

Sửa: \(16=2^4\)

Bài 2 :

a) \(2^a+154=5^b\left(a;b\inℕ\right)\)

-Ta thấy,chữ số tận cùng của \(5^b\) luôn luôn là chữ số \(5\)

\(\Rightarrow2^a+154\) có chữ số tận cùng là \(5\)

\(\Rightarrow2^a\) có chữ số tận cùng là \(1\) (Vô lý, vì lũy thừa của 2 là số chẵn)

\(\Rightarrow\left(a;b\right)\in\varnothing\)

b) \(10^a+168=b^2\left(a;b\inℕ\right)\)

Ta thấy \(10^a\) có chữ số tận cùng là số \(0\)

\(\Rightarrow10^a+168\) có chữ số tận cùng là số \(8\)

mà \(b^2\) là số chính phương (không có chữ số tận cùng là \(8\))

\(\Rightarrow\left(a;b\right)\in\varnothing\)

Bài 3 :

a) \(M=19^k+5^k+1995^k+1996^k\left(với.k.chẵn\right)\)

Ta thấy :

\(5^k;1995^k\) có chữ số tận cùng là \(5\) (vì 2 số này có tận cùng là \(5\))

\(\Rightarrow5^k+1995^k\) có chữ số tận cùng là \(0\)

mà \(1996^k\) có chữ số tận cùng là \(6\) (ví số này có tận cùng là số \(6\))

\(\Rightarrow5^k+1995^k+1996^k\) có chữ số tận cùng là chữ số \(6\)

mà \(19^k\left(k.chẵn\right)\) có chữ số tận cùng là số \(1\)

\(\Rightarrow M=19^k+5^k+1995^k+1996^k\) có chữ số tận cùng là số \(7\)

\(\Rightarrow M\) không thể là số chính phương.

b) \(N=2004^{2004k}+2003\)

Ta thấy :

\(2004k=4.501k⋮4\)

mà \(2004\) có chữ số tận cùng là \(4\)

\(\Rightarrow2004^{2004k}\) có chữ số tận cùng là \(6\)

\(\Rightarrow N=2004^{2004k}+2003\) có chữ số tận cùng là \(9\)

\(\Rightarrow N\) có thể là số chính phương (nên câu này bạn xem lại đề bài)

Bài 1 :

\(\left(7^{2023}-5.7^{2022}\right):7^{2020}\)

\(=7^{2023}:7^{2020}-5.7^{2022}:7^{2020}\)

\(=7^{2023-2020}-5.7^{2022-2020}\)

\(=7^3-5.7\)

\(=7\left(7^2-5\right)\)

\(=7\left(49-5\right)\)

\(=7.44=308\)

Bài 2 : \(n+6⋮n+2\left(n\inℕ\right)\)

\(\Rightarrow n+6-\left(n+2\right)⋮n+2\)

\(\Rightarrow n+6-n-2⋮n+2\)

\(\Rightarrow4⋮n+2\)

\(\Rightarrow n+2\in U\left(4\right)=\left\{1;2;4\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{-1;0;2\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{0;2\right\}\left(n\inℕ\right)\)

Bài 3: 

3a, \(19^{8^{1945}}\) Vì 8 ⋮ 2 ⇒ 8¹⁹⁴⁵ ⋮ 2 ⇒ 8¹⁹⁴⁵ = 2k (k \(\in\) N*)

Ta có: \(19^{8^{1945}}\) = \(19^{2k}\)  = \((\)19²)^k = \(\overline{...1}\)^k = 1 

3b, 37²⁰²³ = (37⁴)⁵⁰⁵. 37³ = \(\overline{...1}\)⁵⁰⁵.\(\overline{..3}\) = \(\overline{...3}\)

3c, 53⁹⁹⁷ = (53⁴)²⁴⁹.53 = \(\overline{...1}\)²⁴⁹. 53 = \(\overline{...3}\) 

3d, 84⁵⁶⁷ = (84²)²⁸³.84 = \(\overline{...6}\)²⁸³ . 84 = \(\overline{...4}\)