a, Đặt \(A=\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\)

\(A^2=4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}+2\sqrt{16-\left(10+2\sqrt{5}\right)}+4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}\)

\(=8+2\sqrt{6-2\sqrt{5}}=8+2\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}=8+2\left(\sqrt{5}-1\right)=6+2\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow A=\sqrt{6+2\sqrt{5}}=\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}=\sqrt{5}+1\)

b, Đặt  \(B=\sqrt{94-42\sqrt{5}}-\sqrt{94+42\sqrt{5}}\)

\(B^2=94-42\sqrt{5}-2\sqrt{94^2-8820}+94+42\sqrt{5}\)

\(=188-2\sqrt{16}=188-8=180\)

\(\Rightarrow B=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\)

Vì \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ

   \(\sqrt{3}\)là số vô tỉ

   \(\sqrt{5}\)là số vô tỉ 

\(\Rightarrow\)\(\sqrt{2+\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)cũng là số vô tỉ ( đpcm )

Áp dụng bđt ( a + b )² \(\ge\)4ab

16 = ( 2x + xy ) ² \(\ge\)4 . 2x . xy \(\Leftrightarrow\)8x²y\(\le\)16 \(\Leftrightarrow\)x²y \(\le\)2

A đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi x = 1, y = 2

Đáp án

x = 1

y = 2 nha

Bài làm

2x + xy = 4

xy= 4 - 2x

A = x ( 4 - 2x ) 4x - 2x^2 = 2 - 2 ( x^2 - 2 + 1 ) = 2 - 2 ( x + 1 ) ^2

A = 2 khi x = 1, y = 2

Chứng minh bằng phương pháp phản chứng : 

Giả sử √77là một số hữu tỉ . Suy ra có thể biểu diễn dưới dạng √7=mn7=mn (m,n∈Z,n≠0m,n∈Z,n≠0) và mnmntối giản.

⇒7n2=m2⇒m2⋮7⇒m⋮7⇒7n2=m2⇒m2⋮7⇒m⋮7(1)

Do đó, đặt m = 7k (k∈Nk∈N)

=> m2=49k2⇒n2=7k2⇒n2⋮7⇒n⋮7m2=49k2⇒n2=7k2⇒n2⋮7⇒n⋮7(2)

Từ (1) và (2) Suy ra được m,n cùng chia hết cho 7

=> mnmn chưa là phân số tối giản (vô lí vì trái với giả thiết)

Điều vô lí chứng tỏ √77là số vô tỉ.

giả sử √7 là số hữu tỉ 

=> √7 = a/b (a,b ∈ Z ; b ≠ 0) 

không mất tính tổng quát giả sử (a;b) = 1 

=> 7 = a²/b² 

<=> a² = b7² 

=> a² ⋮ 7 

7 nguyên tố 

=> a ⋮ 7 

=> a² ⋮ 49 

=> 7b² ⋮ 49

=> b² ⋮ 7

=> b ⋮ 7 

=> (a;b) ≠ 1 (trái với giả sử) 

=> giả sử sai 

=> √7 là số vô tỉ

Hello Nhân 

Hi Trí