Ta chứng minh BĐT tổng quát 

\(\frac{a_1^2+a_2^2+..+a_n^2}{b_1+b_2+...+b_n}\ge\frac{\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2}{b_1+b_2+...+b_n}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có: 

\(\left(\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...+\frac{a_n^2}{b_n}\right)\left(b_1+b_2+...+b_n\right)\ge\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a_1^2+a_2^2+..+a_n^2}{b_1+b_2+...+b_n}\ge\frac{\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2}{b_1+b_2+...+b_n}\) (ĐPCM)

BĐT này đúng với BĐT đề bài cho 2 số \(x,y\) dương

T/b: sau này BĐT thông dụng thì tên nó sẽ là BĐT C-S dạng Engel hay BĐT Svac :)

mình tưởng lopw 9 mới học căn

em chịu bác lớp 7 học rui

(x² - x + 1)(x² - x + 2) = 12           (*)

Đặt \(x^2-x+\frac{3}{2}=t\) \(=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\)

(*) trở thành \(\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(t+\frac{1}{2}\right)-12=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-\frac{1}{4}-12=0\)

\(\Leftrightarrow t^2=12+\frac{1}{4}=\frac{49}{4}\)

=> \(\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\right]^2=\frac{49}{4}\)

Lại có:\(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\ge\frac{5}{4}\forall x\)

nên \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}=\frac{7}{2}\)

đến đây dễ r`

bạn nào bt giải nhanh dùm mình đi