Ta có : \(\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\). Dấu "=" xảy ra khi x = y

Ta có: (x+y)²>=4xy

\(\Leftrightarrow\)(x+y)²-4xy>=0

\(\Leftrightarrow\)x²+2xy+y²-4xy>=0

\(\Leftrightarrow\)x²-2xy+y²>=0

\(\Leftrightarrow\)(x-y)²>=0 (luôn đúng với mọi x)

Đây là bất đăngt thức Bunyakovsky.

Chứng minh:

(a²+b²) (x²+y²)>=(ax+by)²

^{\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)-\left(ax+by\right)^2\ge0\)}

^{\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2-a^2x^2-2axby-b^2y^2\ge0\)}

\(\Leftrightarrow a^2y^2-2aybx+b^2x^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\)

BĐT này luôn đúng, ta có điều phải chứng minh

Bài này phải là tìm GTLN bạn nhé :)

\(-9x^2-6x+19=-\left(9x^2+6x+1\right)+20=-\left(3x+1\right)^2+20\le20\)

Vậy Max = 20 tại x = \(-\frac{1}{3}\)

\(a,10^{30}=2^{30}.5^{30}\)

     \(2^{100}=\left(2^{50}\right)^2\)

\(\Rightarrow10^{30}< 2^{100}\)

tt

\(\left(2x-3\right)^2-4x^2-297=0\)

\(\Rightarrow\left(2x-3-2x\right)\left(2x-3+2x\right)=297\)

\(\Rightarrow-3\left(4x-3\right)=297\)

\(\Rightarrow4x-3=-99\)

\(\Rightarrow x=-24\)

=4x² -12x +9 -4x² - 297 =0

-12x -288=0

x = 288/12= 24

x = 24