a) \(u_n=\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n+1\right)^2}}=\sqrt{\frac{n^2\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)^2+n^2}{n^2\left(n+1\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\frac{\left[n\left(n+1\right)\right]^2+2n^2+2n+1}{\left[n\left(n+1\right)\right]^2}}=\sqrt{\frac{\left[n\left(n+1\right)\right]^2+2n\left(n+1\right)+1}{\left[n\left(n+1\right)\right]^2}}\)

\(=\sqrt{\frac{\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2}{\left[n\left(n+1\right)\right]^2}}=\frac{n\left(n+1\right)+1}{n\left(n+1\right)}\in Q\)

b) \(u_n=\frac{n\left(n+1\right)+1}{n\left(n+1\right)}=1+\frac{1}{n\left(n+1\right)}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

Vậy \(S_{2021}=u_1+u_2+...+u_{2021}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+1+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022}\)

\(=2022-\frac{1}{2022}=\frac{2022^2-1}{2022}\)

\(\sqrt{x^2+1}∈N\Leftrightarrow x^2+1=k^2\Leftrightarrow x^2=k^2-1\Leftrightarrow x^2\text{ và }k^2\text{là hai số chính phương liên tiếp }\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2 = 0\\k^2 = 1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x = 0\\k= 1\end{cases}}}\)

\(\sqrt{x^2+1}∈N\Leftrightarrow x^2+1=k^2\Leftrightarrow x^2=k^2-1\Leftrightarrow x^2\text{ và }k^2\text{là hai số chính phương liên tiếp }\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=0\\k^2=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=0\\k=1\end{cases}}\)

Trả lời :

\(\sqrt{x^2}+1∈N\Leftrightarrow\sqrt{x^2}∈N\left(\text{do 1 ∈ N }\right)\)

√ĐKXĐ: −32x−1≥0⇔2x−1<0⇔x<12

 can 2 cong vs can may z

\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\)

\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}.\frac{1+b}{8}.\frac{1+c}{8}}\)

\(=3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64}}=\frac{3a}{4}\)

\(\frac{b^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+a}{8}+\frac{1+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{b^3}{64}}=\frac{3b}{4}\)

tương tự cái còn lại ta đc

\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\frac{2a+2b+2c+6}{8}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)

\(VT+\frac{2\left(a+b+c+3\right)}{8}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(VT+\frac{2\left(3\sqrt[3]{abc}+3\right)}{8}\ge\frac{3\left(3\sqrt[3]{abc}\right)}{4}\)

\(VT+\frac{3\sqrt[3]{abc}+3}{4}\ge\frac{3\sqrt[3]{abc}}{4}\)

\(VT\ge\frac{3}{4}=VP\)

\(< =>ĐPCM\)

\(x=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}\)

\(\Leftrightarrow x^3=2+3+3\sqrt[3]{2.3}\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3-5=3\sqrt[3]{6}x\)

\(\Leftrightarrow x^9-15x^6+75x^3-125=162x^3\)

\(\Leftrightarrow x^9-15x^6-87x^3-125=0\)(1)

Nếu phương trình (1) có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó có dạng \(\frac{p}{q}\)với \(p\)là ước của \(125\), \(q\)là ước của \(1\). 

Do đó nếu (1) có nghiệm thì nghiệm đó chỉ có thể là thuộc tập hợp: \(\left\{-125,-25,-5,-1,1,5,25,125\right\}\).

Thử lần lượt các giá trị trên ta đều thấy không thỏa mãn. 

Do đó phương trình (1) không có nghiệm hữu tỉ. 

Mà \(x=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}\)là một nghiệm của phương trình (1). 

Do đó \(x=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}\)là số vô tỉ. 

VÌ : \(\sqrt{2}\)+\(\sqrt{3}\)là số vô tỉ

=> ....

Mới lớp 8 nên ko bt gì hết ;-;

\(a,ĐKXĐ:x\ge3\)

\(a,\sqrt{x^2-9}+\sqrt{x^2-6x+9}=0\)

\(\sqrt{x-3}\sqrt{x+3}+\sqrt{\left(x-3\right)^2}=0\)

\(\sqrt{x-3}\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x-3}\right)=0\)

\(\orbr{\begin{cases}\sqrt{x-3}=0\\\sqrt{x+3}+\sqrt{x-3}=0\end{cases}\orbr{\begin{cases}x=3\\\sqrt{x+3}+\sqrt{x-3}=0\end{cases}}}\)

dễ thấy \(\sqrt{x+3}=-\sqrt{x-3}\)

\(\sqrt{x+3}\ge0\)

\(-\sqrt{x-3}\le0\)

\(< =>\hept{\begin{cases}\sqrt{x+3}=0\\-\sqrt{x-3}=0\end{cases}\hept{\begin{cases}x=-3\\x=3\end{cases}\left(KTM\right)}}\)

vậy nghiệm duy nhất của pt là \(x=3\)

\(b,ĐKXĐ:x\ge\frac{3}{2}\)

\(b,\sqrt{2x-2+2\sqrt{2x-3}}+\sqrt{2x+13+8\sqrt{2x-3}}=5\)

\(\sqrt{2x-3+2\sqrt{2x-3}+1}+\sqrt{2x-3+8\sqrt{2x-3}+16}=5\)

\(\sqrt{\left(\sqrt{2x-3}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{2x-3}+4\right)^2}=5\)

\(\left|\sqrt{2x-3}+1\right|+\left|\sqrt{2x-3}+4\right|=5\)

\(\sqrt{2x-3}+1+\sqrt{2x-3}+4=5\)

\(2\sqrt{2x-3}=0\)

\(x=\frac{3}{2}\left(TM\right)\)

\(\sqrt[3]{8x^3-12x^2+6x-1}-2x\)

\(\sqrt[3]{\left(2x-1\right)^3}-2x\)

\(2x-1-2x\)

\(=-1\)

\(\sqrt[3]{8x^3-12x^2+6x-1}-2x\)

\(=\sqrt[3]{\left(2x\right)^3-3.\left(2x\right)^2.1+3.2x.1^2-1^3}-2x=\sqrt[3]{\left(2x-1\right)^3}=2x-1-2x=-1\)