\(\frac{1.2.3.4....30.31}{2.2.2.3.2.3.....2.32}=\frac{2.3.4....30.31}{2^{31}\left(2.3...31\right).32}=\frac{1}{2^{31}.2^5}=\frac{1}{2^{36}}=2^{-36}\)

Vậy x=-36

ta có \(\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{6}\cdot\frac{3}{8}.....\frac{30}{62}\cdot\frac{31}{64}=2^x\)

=>\(\frac{1.2.3.4....31}{2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot2\cdot3.....\cdot2\cdot3\cdot2}=\frac{2\cdot3\cdot4...30.31}{2^{31}\left(2\cdot3\cdot4...31\right)32}=\frac{1}{2^{31}\cdot2^5}=\frac{1}{2^{36}}=2^{-36}\)

\(=>x=-36\)

Bài này mình làm rồi :

ab - ba = 10a + b - (10b +a) = 9a - 9 b = 9(a - b)= 3² (a - b)

Để ab - ba là số chính phương thì a - b là số chính phương.

Mà a>b>0;      0<b,a ≤9  =>   0<a-b ≤9.

=> a-b=1; a-b=4; a-b=9

+) a - b = 1  => ab ∈{21; 32; 43; 54; 65; 76; 87; 98}

ab nguyên tố   => ab = 43 (thỏa mãn)

+) a - b = 4  => ab ∈{51; 62; 73; 84; 95}

ab nguyên tố   => ab= 73  (thỏa mãn)

+) a- b = 9 => ab = 90 (loại) 

Vậy ab = 43 hoặc 73.

Bài này mình cung  làm rồi :

ab - ba = 10a + b - (10b +a) = 9a - 9 b = 9(a - b)= 3² (a - b)

Để ab - ba là số chính phương thì a - b là số chính phương.

Mà a>b>0;      0<b,a ≤9  =>   0<a-b≤9.

=> a-b=1; a-b=4; a-b=9

+) a - b = 1  => ab ∈{21; 32; 43; 54; 65; 76; 87; 98}

ab nguyên tố   => ab = 43 (thỏa mãn)

+) a - b = 4  => ab ∈{51; 62; 73; 84; 95}

ab nguyên tố   => ab= 73  (thỏa mãn)

+) a- b = 9 => ab = 90 (loại) 

Vậy ab = 43 hoặc 73.

Số abcd chia hết cho tích ab . cd => số abcd chia hết cho ab và cd

abcd = ab . 100 + cd

abcd chia hết cho ab => cd chia hết cho ab => cd = m.ab (m là chữ số do ab; cd là số có 2 chữ số)

abcd chia hết cho cd => ab. 100 chia hết cho cd  => 100.ab = n.cd

=> 100.ab = m.n.ab => m.n = 100  => m = 1; 2; 4; 5; 

+)  m = 1 => ab = cd : Số abcd = abab chia hết cho ab.ab => 101.ab chia hết cho tích ab.ab => 101 chia hết cho ab 

=> không có số nào thỏa mãn

+) m = 2 => cd = 2.ab : số abcd = 100ab + 2ab = 102.ab chia hết cho 2.ab. ab  =>   51 chia hết cho ab 

=> ab = 17 => cd = 34 => có số 1734

+) m = 4 => cd = 4.ab : số abcd = 104. ab chia hết cho 4.ab.ab => 26 chia hết cho ab  =  > ab = 13 => cd = 52

có Số 1352

+) m = 5 => cd = 5ab : số abcd = 105 .ab chia hết cho 5.ab.ab => 21 chia hết cho ab => ab =  21 => cd = 105 Loại

Vậy có 2 số thỏa mãn: 1734 và 1352

Tìm số abcd (gạch đầu), biết rằng số đó chia hết cho tích các số ab và cd (gạch đầu hết) 
Ta có 
abcd chia hết cho ab.cd 
100.ab+cd chia hết cho ab.cd 
 cd chia hết cho ab 
Đặt cd=ab.k với k \(\in\) N và 1\(\le\)k\(\le\)9  
Thay vào  ta có
100.ab+k.ab chia hết cho k.ab.ab 
 =>100+k chia hết cho k.ab 
 => 100 chia hết cho k  
=> k \(\in\) {1;2;4;5} 
- Xét k=1 thì thay vào thì 101 chia hết cho ab (loại)
- Với k=2 thì thay vào 102 chia hết cho 2.ab  51 chia hết cho ab và lúc đó thì :
ab=17 và cd=34(nhận) hoặc ab=51;cd=102 (loại)
- Với k=4 thì ta có 104 chia hết cho 4.ab => 26 chia hết cho ab nên 
ab=13;cd=52(nhận) hoặc ab=26;cd=104(loại)
- Với k=5 thì thay vào  ta có 105 chia hết cho 5.ab => 21 chia hết cho ab => ab=21 và cd=105 vô lí 
                Vậy ta được 2 cặp số đó là 1734;1352

Ta có: (a - b).(a+ b) = a.(a+ b) - b.(a+ b) = a² + ab - ab  - b² = a² - b²

Áp dụng: M = (100 - 99)(100 + 99) + (98 - 97).(98 + 97) + ...+ (2 - 1)(2+1)

= 100 + 99 + 98 + 97 + ...+ 2 + 1 = (1+100).100 : 2 = 5050

Ta thấy: a^2 - (a-1)^2 = a^2 - (a-1) x (a-1) = a^2 - a(a-1) + (a-1) = a^2 - a^2 + a+a-1=2a-1

Áp dụng công thức này được:

 \(M=\left(100^2-99^2\right)+\left(98^2-97^2\right)+...+\left(2^2-1^2\right)\)

\(M=2.100-1+2.98-1+...+2.2-1\)

\(M=2\left(100+98+...+2\right)-50\)

\(M=2.\frac{\left[\left(100-2\right):2+1\right]\left(100+2\right)}{2}-50\)

\(M=50.102-50=50\left(102-1\right)=50.101=5050\)

Dễ quá

Tú lập bảng dựa vào hệ nhị phân .Mỗi số từ 1 đến 12 viết trọng hệ nhị phân đều có không quá 4 chữ số .Bốn dòng tháng sinh từ trên xuống ứng với các hàng 8,4,2,1 của hệ nhị phân.Để dễ nhớ và để khỏi lộ bí mật,các hàng đó được mang tên Tươi vui,bền bỉ,Hoạt bát,Mạnh mẽ(có chữ cái đầu tiên trùng với các chữ cái đầu tiên của Tám,Bốn,Hai,Một)

Chẳng hạn 6=110₍₂₎.Số 6 trong hệ nhị phân có đơn vị hàng 4 ,hàng 2,không có đơn vị hàng 1 .Tú đã viết số 6 vào các dòng Bền bỉ,Hoạt bát,không viết vào các dòng còn lại.Khi một bạn cho biết tháng sinh của mình có ở dòng Bền bỉ,Hoạt bát ,Tú chỉ cần lấy 4+2 thành 6,chính là tháng sinh của bạn đó

Dễ quá, vậy trong tháng Tươi Vui hoặc Mạnh mẽ đều không chứa tháng sinh của bạn đó,

=> Tháng sinh của bạn đó không phải là 1;3;5;7;8;9;10;11;12

=> Vậy bạn đó sinh vào tháng 6 , tháng 2 hoặc tháng 4

Các phần tử chung trong tháng Bền bỉ và Hoạt bát là: 6;7

   Vậy bạn đó sinh vào tháng 6.

Gọi d = ƯC (21n + 3; 6n + 4) (d là số  nguyên tố  vì  nếu tử và mẫu có chung ước thì sẽ có chung các uơcs nguyên tố   )

=> 21n + 3 chia hết cho d; 6n + 4 chia hết cho d

=> 7. (6n +4) - 2.(21n +3) chia hết cho d 

Hay 22 chia hết cho d; d nguyên tố nên d = 2 hoặc 11

+) d = 2 => 21n + 3 chia hết cho 2 và 6n + 4 chia hết cho 2 (luôn đúng)

Chỉ cần 21n +3 chia hết cho 2 => n lẻ

+) d = 11 : để 21n + 3 chia hết cho 11 => 22n  - - n + 3  chia hết cho 11

=>  n - 3  chia hết cho 11  => n = 3 + 11k

=> 6n + 4 = 6(3 + 11k) + 4 = 66k + 22 chia hết cho 11

Vậy n = 3 + 11k hoặc n lẻ thì A rút gọn được

Ta có :
(21n+3)/(6n+4) 
= 4 - (3n+13)/(6n+4) 
= 4 - 1/2.(6n+26)/(6n+4) 
= 4 - 1/2.(1+22/(6n+4)) 
Để là số nguyên thì 6n+4 phải là ước của 22 và thương 22/(6n+4) phải là số lẻ 
=> 6n+4=22 (Vì n là số tự nhiên nên chỉ có giá trị này thỏa mãn) 

=> 6n = 18

=> n = 3 

Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 lập tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số trong đó mỗi chữ số trên đều có mặt. Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết cho 9.

Số các số lập được: 7x6x5x4x3x2x1 = 5040 (số)

Tổng các chữ số của mỗi số là:  7+6+5+4+3+2+1 = 28.

Tổng các chữ số của 5040 số đó là:

28 x 5040 = 141 120

Số 141 120 có tổng các chữ số là 9.

Chia hết cho 9 nên Tổng các số đó chia hết cho 9

Đọc nhầm đề, thế bài này phải là Nguyên lý Đỉíchlê

Số có nhiều ước nhất là số phân tích dưới dạng lũy thừa của các số nguyên tố sao cho số nguyên tố là bé nhất.

Ta có: 2⁵=32

Vậy số này có 6 ước.

2⁴ x 3 = 48

Vậy số này có 10 ước.

Vậy số 48 là số cần tìm

48 nha bạn !

Chắc chắn 100% luôn

Mình đã làm đúng câu này ở Violympic

a) Ta có 39=13.3.

Số các ước của n sẽ có \(\left(a_1+1\right).\left(a_2+1\right)=13.3\)

\(\Rightarrow\)a₁ = 12 và 2₂ = 2

Vậy n=m¹².n²=(m⁶.n)²=a² với a=m⁶.n  (đpcm)

b) Tích các ước là: P P=m.m².m³.....m¹².m.n.m².n.m³.n.....m¹².n.m.n².m².n².m³.n².....m¹².n².n².n

Vì 1+2+3+...+12 = 78 nên P=m^78.3.n^12+24+2+1=m²³⁴.n³⁹=m^6.39.n³⁹=(m⁶.n)³⁹=a³⁹

a) Phân tích n ra thừa số nguyên tố: n = a^x. b^y. c^z.d^t... (x; y ; z; t ,.. > 0 )

=> Số ước của n là: (x+1).(y +1).(z+1).(t+1) ... = 39 là số lẻ

=> các thừa số x + 1; y + 1; z + 1; ... đều lẻ 

=> x; y; z; t ; ... đều chẵn

=> n viết được dưới dạng lũy thừa có số mũ chẵn 

=> n là số chính phương  hay có số a để n = a²