a. Gọi 3 số đó là a; a+1; a+2

Ta có: a+ a+1 + a+2 = 3a +3

3 chia hết cho 3 => 3a chia hết cho 3

=> 3a+3 chia hết cho 3

=> Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3

tham khảo bài cô Loan ấy

Mỗi đội nhóm A đấu với mỗi đội nhóm B 2 trận . Nhóm B có 4 đội nên mỗi đội nhóm A có 4 x 2 = 8 trận đấu với các đội nhóm B

Nhóm A có 4 đội nên tất cả có: 4 x 8 = 32 trận đấu

Tổng 1 + 2 + 3 +...+ a + ..+ 17 + 18

Giả sử thay + a thành  -a thì tổng đã cho giảm đi 2 lần số a , tức là giảm đi một số chẵn

Mà 1+ 2+ ..+ 18 = 19 x 18 : 2 = 19 x 9 là số lẻ 

Số lẻ giảm đi một số chẵn là số một số lẻ Nên kết quả không thể là 12

Cứ mỗi giờ trôi qua thì kim phút quay được 1 vòng , kim giờ quay được 1/12 vòng.

Hiệu vận tốc  của kim phút và kim giờ là: 1 - 1/12 = 11/12 (vòng)

Thời gian để hai kim trùng nhau 1 lần là:

1  : 11/12=  12/11(giờ)

Vậy sau 24 giờ hai kim sẽ trùng nhau số lần là:

24 : 12/11 =22 (lần)

Đáp số : 22 lần

Cứ mỗi giờ trôi qua thì kim phút quay được 1 vòng , kim giờ quay được 1/12 vòng.

Hiệu vận tốc  của kim phút và kim giờ là: 1 - 1/12 = 11/12 (vòng)

Thời gian để hai kim trùng nhau 1 lần là:

1  : 11/12=  12/11(giờ)

Vậy sau 24 giờ hai kim sẽ trùng nhau số lần là:

24 : 12/11 =22 (lần)

Đáp số : 22 lần

1)   Ta có : 3, 24, 63, 120, 195, ...

3=(3.1-2)3.1

24=(3.2-2)3.2

63=(3.3-2)3.3

.......

=> n = ( 3n - 2 ) . 3n

2) Ta có : 1, 3, 6, 10, 15,...

1=1(1+1):2

3=2(2+1):2

6=3(3+1):2

....

=> \(n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

a) A = 1² + 2² + ...+ n² = 1.(2 - 1) + 2.(3 - 1) + ...+ n.(n+ 1 - 1) = [1.2 + 2.3 + ...+ n.(n+1)] - (1 + 2 + ... + n)

Tính B = 1.2 + 2.3 + ...+ n.(n+1)

=> 3.B = 1.2.3 + 2.3.3 +3.4.3 + ...+ n.(n+1).3

= 1.2.3 + 2.3.(4 -1) + 3.4 .(5 - 2) + ...+ n.(n+1).((n+2) - (n-1) )

= [1.2.3.+ 2.3.4 + 3.4.5 +...+ n.(n+1).(n+2)] - [1.2.3 + 2.3.4 +...+ (n-1).n(n+1)] = n(n+1)(n+2)

=> B = n(n+1).(n+2)/3

Tính 1 + 2 + 3 + ..+ n =(n+1).n / 2

Vậy A =  n(n+1).(n+2)/3 - (n+1).n / 2 = n(n+1).(2n+1) / 6

Ta có: \(n^3=n.n.n=n.\left(\frac{n+1+n-1}{2}\right).n\left(\frac{\left(n+1\right)-\left(n-1\right)}{2}\right)\)

\(=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}+\frac{n\left(n-1\right)}{2}\right).\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}-\frac{n\left(n-1\right)}{2}\right)=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2-\left(\frac{n\left(n-1\right)}{2}\right)^2\)

(Áp dụng công thức a² - b² = (a-b).(a+b))

Áp dụng vào ta có: \(1^3=\left(\frac{1.2}{2}\right)^2-\left(\frac{1.0}{2}\right)^2\)

                             \(2^3=\left(\frac{2.3}{2}\right)^2-\left(\frac{2.1}{2}\right)^2\)

                             \(3^3=\left(\frac{3.4}{2}\right)^2-\left(\frac{3.2}{2}\right)^2\)

                            ......................

                            \(n^3=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2-\left(\frac{n\left(n-1\right)}{2}\right)^2\)

Cộng từng vế ta được:

\(1^3+2^3+....+n^3=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2\)

\(\frac{3}{5.11}+\frac{5}{11.21}+\frac{7}{21.35}+\frac{9}{35.53}=\frac{1}{2}\left(\frac{6}{5.11}+\frac{10}{11.21}+\frac{14}{21.35}+\frac{18}{35.53}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{21}+\frac{1}{21}-\frac{1}{35}+\frac{1}{35}-\frac{1}{53}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{53}\right)=\frac{1}{2}.\frac{48}{265}=\frac{24}{265}\)

Sửa lại :

\(=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{21}+\frac{1}{21}-\frac{1}{35}+\frac{1}{35}-\frac{1}{53}\right)\)

\(=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{53}\right)=\frac{1}{2}.\frac{48}{265}=\frac{24}{265}\)