\(\hept{\begin{cases}x+y=7\\\sqrt{x+1}+\sqrt{y}=4\end{cases}}\)   với   \(\hept{\begin{cases}x\ge-1\\y\ge0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)+y=8\\\sqrt{x+1}+\sqrt{y}=4\end{cases}}\)  (*)

Đặt  \(a=\sqrt{x+1}\ge0;b=\sqrt{y}\ge0\)

(*) =>   \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2=8\\a+b=4\end{cases}}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)^2-2ab=8\\a+b=4\end{cases}}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\hept{\begin{cases}a+b=4\\ab=4\end{cases}}\)

Dễ dàng tìm được a = b = 2 suy ra a = 3; b = 4.

Tứ giác BKCN nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{AKC}=\widehat{NBC}=\widehat{ABM};\widehat{AKB}=\widehat{NCB}\)

\(\Rightarrow\Delta ABM~\Delta AKC\Rightarrow\frac{AB}{AK}=\frac{AM}{AC}\)

Mà \(\widehat{BAK}=\widehat{KAC}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BKA}=\widehat{MCA}\)

Lại có \(\widehat{BKA}=\widehat{NCB}\Rightarrow\widehat{MCA}=\widehat{NCB}\)

=> đpcm

Ai vào giải bài này đi !!

Lỡ xóa Sketpad rồi nên vẽ hình trên này! 

Vẽ đường tròn tâm K ngoại tiếp tam giác AMN.

Gọi E, F lần lượt là các giao điểm thứ hai của AB và AC với đường tròn (K)

Ta có: \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\); suy ra \(ME=NF\).Từ đó ta có:

Tứ giác MNFE là hình thang cân. Do đó FE // BC

Suy ra \(\frac{EB}{AB}=\frac{FC}{AC}\Leftrightarrow\frac{FB}{FC}=\frac{AB}{AC}\)(1)

Ta có: \(\widehat{A_1}=\widehat{BNE}\). Nên \(\Delta BMA~\Delta BEN\)\(\Rightarrow\frac{MB}{EB}=\frac{AB}{NB}\Leftrightarrow MB.NB=EB.AB\)(2)

Tương tự ta có: \(\widehat{A_2}=\widehat{CMF}\)nên \(\Delta CAN~\Delta CFM\)

Suy ra \(\frac{MC}{FC}=\frac{AC}{NC}\Leftrightarrow MC.NC=FC.AC\left(3\right)\)

Từ (2) và (3) ta có: \(\frac{MB.NB}{MC.NC}=\frac{EB.AB}{FC.AC}\)(4)

Từ (1) và (4) suy ra \(\frac{MB.NB}{MC.NC}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2\)(đpcm)

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}\)

\(=\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{a}\right)+\left(\frac{b}{a+c}+\frac{a+c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a+b}+\frac{a+b}{c}\right)\ge2+2+2=6\)

vậy min \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=6\)

Giả sử hai đa thức có nghiệm chung \(x_0\), ta thấy cả hai đa thức đều không nhận x = 0 là nghiêm nên \(x_0\ne0\) .

Ta có đồng thời:

   \(\hept{\begin{cases}x_0^4+ax_0^2+1=0\\x_0^3+ax+1=0\end{cases}}\)

Nhân cả hai vế của đẳng thức thứ hai với \(x_0\) rồi lấy đẳng thức thứ nhất trừ đi đẳng thức thứ hai ta được:

\(\left(x_0^4+ax_0^2+1\right)-x_0\left(x_0^3+ax_0+1\right)=0\)

=> \(1-x_0=0\)

=> \(x_0=1\)

Thức là nếu hai đa thức có nghiệm chung \(x_0\) thì nghiệm chung đó chỉ có thể bằng 1.

Để  x=1 là nghiệm chung của hai đa thức thì: \(1^4+a.1^2+1=0\) => a = -2