Bài giải

Ta có: 3x - 4y = -21   (x, y thuộc Z+ hay N* và x, y < 10)

\(\Rightarrow\) (-21) + 4y = 4y + (-21) = 4y - 21= 3y - 21 + y = 3x

\(\Rightarrow\)[(3y - 21) + y] : 3 = (3y : 3 - 21 : 3) + y : 3 = y - 7 + y : 3

Mà y : 3 (với y thuộc Z+ hay N* và y < 10)

Nên y chia hết cho 3, y thuộc Z+ hay N* và y < 10

Suy ra y \(\in\){6; 9}

Với y = 6 thì x = 1

Với y = 9 thì x = 5

Vậy...

a, \(3x^2-6x=3x\left(x-2\right)\)

b, \(4x^2-8x+4=\left(2x\right)^2-2.2.2x+2^2=\left(2x-2\right)^2\)

c, \(2x^2-2=2\left(x^2-1\right)=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

d, \(25-4x^2-4xy-y^2=25-\left(4x^2+4xy+y^2\right)=5^2-\left(2x+y\right)^2\)

\(\left[5-\left(2x+y\right)\right]\left(5+2x+y\right)=\left(5-2x+y\right)\left(5+2x+y\right)\)

e, \(8x^3-\frac{1}{27}=\left(2x\right)^3-\left(\frac{1}{3}\right)^3=\left(2x-\frac{1}{3}\right)\left[\left(2x\right)^2+2x.\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^2\right]=\left(2x-\frac{1}{3}\right)\left(4x^2+\frac{2x}{3}+\frac{1}{9}\right)\)

a) \(3x^2-6x=3x\left(x-2\right)\)

b) \(4x^2-8x+4=4\left(x^2-2x+1\right)=4\left(x-1\right)^2\)

c) \(2x^2-2=2\left(x^2-1\right)=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

d) \(25-4x^2-4xy-y^2=-\left(4x^2+4xy+y^2-25\right)\)

\(=-\left[\left(2x+y\right)^2-5^2\right]=-\left(2x+y+5\right)\left(2x+y-5\right)\)

e) \(8x^3-\frac{1}{27}=\left(2x\right)^3-\left(\frac{1}{3}\right)^3=\left(2x-\frac{1}{3}\right)\left(4x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}\right)\)

1. \(\hept{\begin{cases}x^2+2y^2=4x-1\\y^2+2x^2=4y-1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x^2+2y^2\right)-\left(y^2+2x^2\right)=4x-1-\left(4y-1\right)\\\left(x^2+2y^2\right)+\left(y^2+2x^2\right)=4x-1+4y-1\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y^2-x^2=4x-4y\left(1\right)\\3\left(x^2+y^2\right)=4\left(x+y\right)-2\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ ( 1 ) \(\Rightarrow\left(y-x\right)\left(x+y\right)-4\left(x-y\right)=0\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(x+y+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x+y=-4\end{cases}}\)

Với x = y thì thay vào ( 2 ), ta được : \(6x^2-8x+2=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=\frac{1}{3}\end{cases}}\)

Với x + y = -4  thay vào ( 2 ), ta được : \(3\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]=4.\left(-4\right)-2\)

\(\Leftrightarrow-6xy=-66\Leftrightarrow xy=11\)

Ta được hệ phương trình : \(\hept{\begin{cases}x+y=-4\\xy=11\end{cases}}\) mà hệ phương trình này vô nghiệm 

2. Ta cần chứng minh BĐT : \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)   với a,b > 0 

Thật vậy, xét hiệu : 

\(a^3+b^3-ab\left(a+b\right)=a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)=\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)=\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\)\(\ge\)0

Áp dụng BĐT trên, ta có : \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)

Tương tự : ....

\(\Rightarrow\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{x^3+z^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{xz\left(x+y+z\right)}\)

\(=\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{xyz}=1\)

Vậy GTLN của biểu thức là 1 khi x = y = z = 1

a) xy² + 2xy - 243y + x = 0

\(\Leftrightarrow\)x ( y + 1 )² = 243y

Mà ( y ; y + 1 ) = 1 nên 243 \(⋮\)( y + 1 )²

Mặt khác ( y + 1 ) ² là số chính phương nên ( y + 1 )² \(\in\){ 3² ; 9² }

+) ( y + 1 )² = 3² \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y+1=3\\y+1=-3\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=2\Rightarrow x=54\\y=-4\Rightarrow x=-108\end{cases}}}\)

+) ( y + 1 )² = 9² \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y+1=9\\y+1=-9\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=8\Rightarrow x=24\\y=-10\Rightarrow x=-30\end{cases}}}\)

vậy ...

b) \(\sqrt{x^2+12}+5=3x+\sqrt{x^2+5}\)( đk : x > 0 )

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+12}-4=3x+\sqrt{x^2+5}-9\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+12}-4=3x-6+\sqrt{x^2+5}-3\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-4}{\sqrt{x^2+12}+4}=3\left(x-2\right)+\frac{x^2-4}{\sqrt{x^2+5}+3}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}-3\right)=0\)

Vì \(\sqrt{x^2+12}+4>\sqrt{x^2+5}+3\Rightarrow\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}< \frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}\)

Do đó : \(\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}-3< 0\)nên x - 2 = 0 \(\Leftrightarrow\)x = 2 

Bài 1 :  Số dân của khu vực đó năm 2007 là :

                   125000 x 1,2 % + 125000 = 126500 ( người )

            Số dân của khu vực đó năm 2008 là :

                   126500 x 1,2% + 126500 = 128018 ( người )

                                                      Đáp số : 128018 người

Bài 2 :  Đổi 1 giờ = 60 phút

             Nếu bể không có thì sau số thời gian bể sẽ đầy là :

                       60 : 75% = 80 ( phút )

                                 Đáp số : 80 phút

Bạn ơi bài 3 máy hút đc bao nhiêu % lượng nước trong hồ ban đầu hay còn lại vậy sau lần 2 vậy.

Áp dụng bđt AM-GM ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

Nhân 2 vế của đẳng thức trên ta được:

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

Áp dụng BDT svacxo ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}\)

Dấu = khi a=b=c

Học tốt

P N M H K I Q

Bài làm:

a,  Vì △MNP cân tại P => PN = PM

Xét △NPI và △MPI

Có: NP = MP (gt)

      NPI = MPI (gt)

    PI là cạnh chung

=> △NPI = △MPI (c.g.c)

b, Xét △HPI vuông tại H và △KPI vuông tại K

Có: PI là cạnh chung

   HPI = KPI (gt)

=> △HPI = △KPI (ch-gn)

=> HIP = PIK (2 góc tương ứng)

Mà IP nằm giữa IH, IK

=> IP là phân giác KIH

c, Ta có: PIN = MIQ (2 góc đối đỉnh)

Mà PIN = 90^o (gt)

=> MIQ = 90^o    (1) 

Xét △MIQ có: IQ = IM => △MIQ cân tại I   (2)

Từ (1), (2) => △MIQ vuông cân tại I

Vì △NPI = △MPI (cmt) 

=> IN = IM (2 cạnh tương ứng)

Mà MN = IN + IM = 6 (cm)

=> IN = IM = 6 : 2 = 3 (cm)

Mà IM = IQ 

=> IM = IQ = 3 (cm)

Xét △MIQ vuông tại I có: IQ² + IM² = MQ² (định lý Pitago)

=> 3² + 3² = MQ²

=> 9 + 9 = MQ²

=> 18 = MQ²

=> MQ = \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)

d, Để △PHK đều <=> HPK = PKH = KHP = 60^o

=> △MNP có NPM = 60^o mà △MNP cân

=> △MNP đều

Vậy để △PKH đều <=> △MNP đều

Hình vẽ đâu

hình vẽ đâu?