\(\overline{53xy3}⋮99\)khi \(\overline{53xy3}\) đồng thời chia hết cho 9 và 11 (9 và 11 nguyên tó cùng nhau và 99=9.11)

\(\overline{53xy3}⋮9\Rightarrow5+3+x+y+3=11+\left(x+y\right)⋮9\Rightarrow\left(x+y\right)=\left\{7;16\right\}\)(1)

\(\overline{53xy3}⋮11\Rightarrow\left(5+x+3\right)-\left(3+y\right)=5+\left(x-y\right)⋮11\)

 (1 số chia hết cho 11 khi hiệu giữa tổng các chữ số ở vị trí chẵn (lẻ) với tổng các chữ số ở vị trí lẻ (chẵn) chia hết cho 11)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)=\left\{-5;6\right\}\)(2)

Kết hợp (1) và (2) \(\Rightarrow x=1;y=6\) Thoả mãn đk đề bài

Độ dài còn lại là:

\(\dfrac{1}{15}:\dfrac{2}{17}=\dfrac{17}{30}m\)

Bài 3: 

a) \(\overline{x183y}\)chia cho \(2,5\)đều dư \(1\)suy ra \(y=1\).

\(\overline{x1831}\)chia cho \(9\)dư \(1\)suy ra \(x+1+8+3+1=x+13\)chia cho \(9\)dư \(1\)

suy ra \(x=6\).

Vậy \(x=6,y=1\).

b) \(p\)là số nguyên tố lớn hơn \(3\)nên \(p=3k+1\)hoặc \(p=3k+2\)với \(k\inℕ^∗\).

- \(p=3k+1\):

\(p^2-1=\left(3k+1\right)^2-1=9k^2+6k+1-1=9k^2+6k\)chia hết cho \(3\).

- \(p=3k+2\):

\(p^2-1=\left(3k+2\right)^2-1=9k^2+12k+4-1=9k^2+12k+3\)chia hết cho \(3\).

Suy ra đpcm. 

c) \(x^2+117=y^2\)

\(\Leftrightarrow y^2-x^2=117\)

\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(y+x\right)=117=3^2.13\)

Vì \(y-x< y+x\)và \(y-x,y+x\)là các ước của \(117\)nên ta có bảng giá trị: 

Vậy bộ số \(\left(x,y\right)\)thỏa mãn ycbt là \(\left(2,11\right)\).

khó