\(P=x^2+y^2-1\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}-1\)

\(=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN P là -1/2 khi x = 1/2 

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức ta có :

\(x^2+y^2=\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{1+1}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}\)

=> P = x² + y² - 1 ≥ 1/2 - 1 = -1/2

Dấu "=" xảy ra <=> x=y = 1/2 . Vậy MinP = -1/2

a/

\(BC^2=AB^2+AC^2\) (Pitago)

\(\Rightarrow BC^2=6^2+8^2=100\Rightarrow BC=10cm\)

Theo định lý đường phân giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy

\(\Rightarrow\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)

Mà \(BD+CD=BC=10cm\)

\(\Rightarrow CD=4x\frac{10}{3+4}=\frac{40}{7}cm\)

b/ Xét tg vuông DEC và tg vuông ABC có

\(\widehat{ACB}\) chung

\(\widehat{DEC}=\widehat{ABC}\) (cùng phụ với \(\widehat{ACB}\) )

=> tg DEC đồng dạng với tg ABC (g.g.g)

c/ ta có

\(\widehat{BAE}=90^o;\widehat{BDE}=90^o\) => A và D cùng nhìn BE dưới cùng 1 góc bằng 90 độ nên ABDE là tứ giác nội tiếp đường tròn

Ta có sđ\(\widehat{BAD}=\frac{1}{2}\) sđ cung BD \(=45^o\)(Góc nội tiếp)

sđ\(\widehat{BED}=\frac{1}{2}\) sđ cung BD (Góc nội tiếp)

\(\Rightarrow\widehat{BED}=\widehat{BAD}=45^o\)

Xét tg vuông BDE có

\(\widehat{EBD}=90^o-\widehat{BED}=90^o-45^o=45^o\)

\(\Rightarrow\widehat{EBD}=\widehat{BED}=45^o\) => tg BDE cân tại D

 

Gọi số tuổi của Nam hiện nay là x (tuổi) (điều kiện: \(x\inℕ^∗\)).

Hiện nay, số tuổi của bố Nam là: \(7x\)(tuổi).

5 năm sau, số tuổi của Nam là: \(x+5\)(tuổi).

5 năm sau, số tuổi của bố Nam là: \(7x+5\)(tuổi).

Vì 5 năm sau, tuổi bố gấp 4 lần tuổi Nam nên ta có phương trình:

\(4\left(x+5\right)=7x+5\).

\(\Leftrightarrow4x+20=7x+5\).

\(\Leftrightarrow4x-7x=5-20\).

\(\Leftrightarrow-3x=-15\).

\(\Leftrightarrow x=5\)(thỏa mãn điều kiện).

Vậy hiện nay, Nam 5 tuổi.

TH1 : Xét \(x< -2\)

\(\Leftrightarrow\left|x+2\right|+\left|7-x\right|=3x+4\)

\(\Leftrightarrow-x-2+7-x=3x+4\)

\(\Leftrightarrow-2x+5=3x+4\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{5}\)( loại )

TH2 : Xét \(-2< x< 7\)

\(\Leftrightarrow\left|x+2\right|+\left|7-x\right|=3x+4\)

\(\Leftrightarrow x+2+7-x=3x+4\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{5}{3}\left(TM\right)\)

TH3 : Xét \(x\ge7\)

\(\Rightarrow x+2+7+x=3x+4\)

\(\Leftrightarrow x=-9\)( loại )

Nếu \(x< -2\)

\(\rightarrow-\left(x+2\right)+\left(7-x\right)=3x+4\)

\(\Leftrightarrow-x-2+7-x-3x-4=0\)

\(\Leftrightarrow-5x=-1\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{5}\left(ktm\right)\)

Nếu \(-2\le x\le7\\ \rightarrow\left(x+2\right)+\left(7-x\right)=3x+4\)

\(\Leftrightarrow x+2+7-x=3x+4\)

\(\Leftrightarrow9-4=3x\\ \Leftrightarrow5=3x\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{5}{3}\left(tm\right)\)

Nếu \(x>7\)

\(\rightarrow\left(x+2\right)-\left(7-x\right)=3x+4\)

\(\Leftrightarrow x+2-7+x=3x+4\)

\(\Leftrightarrow2x-5=3x+4\\ \Leftrightarrow x=-9\left(ktm\right)\)

Vậy, \(S=\left\{\frac{5}{3}\right\}\)

@Cừu