x(x+1)+y(y+1)+z(z+1) \(\le18\)

<=> \(x^2+y^2+z^2+\left(x+y+z\right)\le18\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow54\ge\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow-9\le x+y+z\le6\)

\(\Rightarrow0\le x+y+z\le6\)

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+y+1}+\frac{x+y+1}{25}\ge\frac{2}{5}\\\frac{1}{y+z+1}+\frac{y+z+1}{25}\ge\frac{2}{5}\\\frac{1}{z+x+1}+\frac{z+x+1}{25}\ge\frac{2}{5}\end{cases}}\Rightarrow B+\frac{2\left(x+y+z\right)+3}{25}\ge\frac{6}{5}\)

\(\Rightarrow B\ge\frac{27}{25}-\frac{2}{25}\left(x+y+z\right)\ge\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z>0;x+y+z=6\\\left(x+y+1\right)^2=\left(y+z+1\right)^2=\left(z+x+1\right)^2=25\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=2}\)

vậy giá trị nhỏ nhất cho B=3_/5 khi x=y=z=2

Hai Ngox  Xem laị  từ dòng thứ 2  và dòng thứ 3 xuống dưới. Nhiều lỗi quá!

Sai đề!

Sửa lại!

\(A=\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}..\)

\(=\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{4-2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\)

\(=\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\)

\(=\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{4-2-\sqrt{3}}=\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{4-3}=1.\)

\(4x^2+y^2=\left(2xy+1\right)^2\Leftrightarrow4x^2+y^2=4x^2y^2+4xy+1\Leftrightarrow\left(2x-y\right)^2-4x^2y^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y-2xy\right)\left(2x-y+2xy\right)=1\)

Đến đây ta có các trường hợp

\(\hept{\begin{cases}2x-y-2xy=1\\2x-y+2xy=1\end{cases}}\)và \(\hept{\begin{cases}2x-y-2xy=-1\\2x-y+2xy=-1\end{cases}}\)

Giải ra được \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;1\right);\left(0;-1\right)\right\}\)

\(\sqrt{x^2+x+3}=a\left(a\in Z\right).\)

\(\Rightarrow x^2+x+3=a^2\Leftrightarrow4x^2+4x+12=4a^2\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2-\left(2a\right)^2=-11\)

\(_{\Leftrightarrow\left(2x+1-2a\right)\left(2x+1+2a\right)=-11}\)

Sau đó thì dễ rồi vì a,x nguyên tìm nghiệm của -11 là xong

√x2+x+3=a(a∈Z).

⇒x2+x+3=a2⇔4x2+4x+12=4a2⇔(2x+1)2−(2a)2=−11

⇔(2x+1−2a)(2x+1+2a)=−11

Sau đó thì dễ rồi vì a,x nguyên tìm nghiệm của -11 là xong

Từ giả thiết đề bài ta có: \(a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3\)
                                        \(\Leftrightarrow a^2\left(1-a\right)+b^2\left(1-b\right)+c^2\left(1-c\right)=0.\)
Có: \(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left|a\right|\le1\\\left|b\right|\le1\\\left|c\right|\le1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}1-a\ge0\\1-b\ge0\\1-c\ge0\end{cases}}\)
Từ đó ta có: \(a^2\left(1-a\right)+b^2\left(1-b\right)+c^2\left(1-c\right)\ge0.\)
Dấu bằng xảy ra khi: \(a^2\left(1-a\right)=b^2\left(1-b\right)=c^2\left(1-c\right)=0.\)
Kết hợp với điều kiện : \(a^2+b^2+c^2=1\)và \(a^3+b^3+c^3=1\)ta tìm được bộ ba số: a = 1; b = 0; c = 0 hoặc a= 0; b = 1; c = 0 hoặc a = 0; b = 0; c = 1.
Từ đó tìm ra S = 1 .

THEO MÌNH a = 1    b = 0    c = 0 hoặc là a = 0     b = 1    c = 0

\(\Rightarrow\)S = 1      mình đã rất mỏi tay nên ko diễn giải dc  

FC : ĐÃ RẤT CỐ GẮNG

xét số dư của a, b khi chia cho 5 là: 0,1,2,3,4.
ta ghép cặp dần (0,0) (0,1),(0,2)...(3,4) thì chỉ có cặp (0,0) mới đảm bảo \(a^2+b^2+ab\)mới chia hết cho 5.
vậy a, b sẽ có tận cùng là 0 hoặc 5.
nếu a,b có cùng có chữ số tận cùng là 5 loại vì: \(a^2+b^2+ab\)là số lẻ không chia hết cho 2.
nếu a có  chữ số tận cùng bằng 5, b chữ số có tận cùng bằng 0 thì \(a^2+b^2+ab\)là số lẻ nên không chia hết cho 2. (loại vì \(a^2+b^2+ab\)chia hết cho 10).
a, b có chữu số tận cùng bằng 0 khi đó \(a^2+b^2+ab\)là số chẵn nên chia hết cho 2(thỏa mãn).
do a, b có chữ số tận cùng bằng 0 nên \(a^2,b^2,ab\)sẽ có tận cùng là 100 nên \(a^2+b^2+ab\)chia hết cho 100.

\(a^2+b^2+ab\) chia hết cho 10

=> \(a^2+b^2+ab\) chia hết cho 2 và 5

\(a^2+b^2+ab=\left(a^2+b^2+2ab\right)-ab\)

\(=\left(a+b\right)^2-ab\)

Vì \(\left(a+b\right)^2;ab\) chia hết cho 2

=> \(\left(a+b\right)^2;ab\) cùng chẵn hoặc cùng lẻ

(+) Nếu \(\left(a+b\right)^2;ab\) (1)

=> a và b cùng lẻ

=> a+b chẵn ( mâu thuẫn với (1) )

=> a và b cùng là số chẵn

Để \(=\left(a+b\right)^2-ab\) chia hết cho 5 thì (a+b)^2 và ab có cúng số dư khi chia cho 10

Mình chỉ biết đến đó

Mà cũng ko chắc là đúng

Huy làm có gì sai mọi người góp ý nha :3

a

Ta có 2 đường trung trực của các đoạn thẳng AM,AN cắt nhau tại I nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN

b

Hạ đường cao AK. Gọi L đối xứng với A qua K. Suy ra L cố định.Ta sẽ chứng minh tứ giác AMLN nội tiếp. Thật vậy !

Ta dễ có được đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác ALN 

Ta có:\(\widehat{AIN}=2\widehat{ALN};\widehat{AIN}=2\widehat{AMN}\Rightarrow\widehat{ALN}=\widehat{AMN}\) nên tứ giác AMLN nội tiếp khi đó đường tròn I luôn đi qua điểm L cố định

Hình tui đã vẽ trong TKHĐ nhé :))

Mình làm ra vở cho bạn rồi nhé. Chữ mình hơi xấu, mong bạn thông cảm.

Đặt \(a=x+y;b=y+z;c=z+x\)

Thì bài toán trở thành \(\frac{x+y}{2\left(2x+y\right)}+\frac{y+z}{2\left(2y+z\right)}+\frac{z+x}{2\left(2z+x\right)}\ge1\)

\(< =>3-\frac{x}{2\left(2x+y\right)}-\frac{y}{2\left(2y+z\right)}-\frac{z}{2\left(2z+x\right)}\ge1\)

\(< =>\frac{x}{2x+y}+\frac{y}{2y+z}+\frac{z}{2z+x}\le1\)

\(< =>\frac{2x}{2x+y}+\frac{2y}{2y+z}+\frac{2z}{2z+x}\le2\)

\(< =>3-\frac{y}{2x+y}-\frac{z}{2y+z}-\frac{x}{2z+x}\le2\)

\(< =>\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x}\ge1\)

Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu thức ta có : 

\(\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)+x^2+y^2+z^2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)hay \(a=b=c\)

Vậy bài toán đã được chứng minh xong 

x=y=z hay a=b=c

P min = 2 nhá tại (0;0;2).

Từ giả thiết suy ra \(x\le2\)

\(4=x^2+y^2+z^2+xyz\le x^2+y^2+z^2+2yz\le x^2+\left(y+z\right)^2+2x\left(y+z\right)=\left(x+y+z\right)^2\)

Vậy \(x+y+z\ge2\)

Min P=2 với (x,y,z)=(2;0;0) và các hoán vị