Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:\(a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}-a-b-c\)
\(=a.\left(a^{2016}-1\right)+b.\left(b^{2016}-1\right)+c.\left(c^{2016}-1\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a^{2015}+...+a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b^{2015}+...+b+1\right)+c\left(c-1\right)\left(c^{2015}+...+c+1\right)\)
Ta có:\(a^{2015}+a^{2014}+.....+a+1=a^{2014}\left(a+1\right)+.......+a^2\left(a+1\right)+\left(a+1\right)\)
\(=\left(a+1\right)\left(a^{2014}+a^{2012}+.......+1\right)\)\(\Rightarrow a^{2017}-a\) chia hết cho cả 2 và 3
\(\Rightarrow a^{2017}-a⋮6\).Tương tự ta cũng có:\(\hept{\begin{cases}b^{2017}-b⋮6\\c^{2017}-c⋮6\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}-\left(a+b+c\right)⋮6\) mà \(a+b+c⋮6\Rightarrow a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}⋮6\)
\(\Rightarrowđpcm\)
\(P=\frac{3\left(a+b\right)}{\sqrt{9a\left(4a+5b\right)}+\sqrt{9b\left(4b+5a\right)}}\)
\(\ge\frac{3\left(a+b\right)}{\frac{9a+4a+5b}{2}+\frac{9b+4b+5a}{2}}=\frac{1}{3}\)
Ta có :
\(P^1=\frac{a+b}{\sqrt{a\left(4a+5b\right)}+\sqrt{b\left(4b+5a\right)}}.\)
\(\Leftrightarrow P^2=\frac{3\left(a+b\right)}{\sqrt{9a\left(4a+5b\right)}+\sqrt{9b\left(4b+5a\right)}}\)
Mà ta thấy biểu thức \(P^2\ge\frac{3\left(a+b\right)}{\frac{9a+4a+5b}{2}+\frac{9b+4b+5a}{2}}\)
\(=\frac{1}{3}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{3}\)
\(\)
\(Ta có: \frac{{a^5 }}{{b^3 + c^2 }} + \frac{{\sqrt {a(b^3 + c^2 )} }}{{2\sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {a(b^3 + c^2 )} }}{{2\sqrt 2 }}\mathop \ge \frac{{3a^2 }}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{{a^5 }}{{b^3 + c^2 }} \ge \frac{{3a^2 }}{2} - (\frac{{\sqrt {a(b^3 + c^2 )} }}{{2\sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {a(b^3 + c^2 )} }}{{2\sqrt 2 }})\)
\(Do đó: \frac{{a^5 }}{{b^3 + c^2 }} \ge \frac{{3a^2 }}{2} - \frac{{\sqrt {2a(b^3 + c^2 )} }}{2}\mathop \ge \frac{{3a^2 }}{2} - \frac{{2a + b^3 + c^2 }}{4}\)
\(CMTT \frac{{b^5 }}{{c^3 + a^2 }}\mathop \ge \frac{{3b^2 }}{2} - \frac{{2b + c^3 + a^2 }}{4}\), \(\frac{{c^5}}{{a^3+b^2}}\mathop \ge \frac{{3c^2 }}{2} - \frac{{2c + a^3 + b^2 }}{4}\)
\(M \ge \frac{{3(a^2 + b^2 + c^2 )}}{2} + a^4 + b^4 + c^4 - \frac{{2(a + b + c) + (a^2 + b^2 + c^2 ) + (a^3 + b^3 + c^3 )}}{4}\)
\(M \ge \frac{9}{2} + a^4 + b^4 + c^4 - \frac{{2(a + b + c) + (a^2 + b^2 + c^2 ) + (a^3 + b^3 + c^3 )}}{4}\)
Áp dụng Bunhiacoopski ta có:
\(\sqrt {(a^4+b^4+c^4 )(a^2+b^2+c^2)}=\sqrt {(a^4 +b^4+ c^4 ).3}\ge a^3+b^3+c^3 \)
\(\sqrt {(a^4 + b^4 + c^4 )(1 + 1 + 1)} = \sqrt {(a^2 + b^2 + c^2 ).3} \ge a^2 + b^2 + c^2 \Leftrightarrow a^4 + b^4 + c^4 \ge 3\)
Ta có: \(3 = a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac{{(a + b + c)^2 }}{3} \Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 \ge a + b + c\)
\(Đặt t=x^4+y^4+z^4 (t \ge 3) cần CM để trở thành S \ge \frac{{4t - 9 - \sqrt {3t} }}{4}\ge 0\)
\(Ta có: S\ge \frac{{4t - 9 - \sqrt {3t} }}{4} = \frac{{3(t - 3) + \sqrt t (\sqrt t - \sqrt 3 )}}{4} \ge 0
\)
\(Do đó: M\geq \frac{9}{2}\)
Phần đầu mình thiếu nha
\(\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{\sqrt{a\left(b^3+c^2\right)}}{2\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{a\left(b^3+c^2\right)}}{2\sqrt{2}}\ge\frac{3a^2}{2}\)
=> \(\frac{a^5}{b^3+c^2}\ge\frac{3a^2}{2}-\left(\frac{\sqrt{a\left(b^3+c^2\right)}}{2\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{a\left(b^3+c^2\right)}}{2\sqrt{2}}\right)\)
Do đó \(\frac{a^5}{b^3+c^2}\ge\frac{3a^2}{2}-\frac{\sqrt{2a\left(b^3+c^2\right)}}{2}\ge\frac{3a^2}{2}-\frac{\left(2a+b^3+b^2\right)}{4}\)
CMTT \(\frac{b^5}{c^3+a^2}\ge\frac{3b^2}{2}-\frac{\left(2b+c^3+a^2\right)}{4},\frac{c^5}{a^3+b^2}\ge\frac{3c^2}{2}-\frac{\left(2c+a^3+b^2\right)}{4}\)
\(=\frac{\left(a+2\right)\left(a-1\right)}{a^n\left(a-3\right)}.\left[\frac{\left(a+2-a\right)\left(a+2+a\right)}{4\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{3}{a.\left(a-1\right)}\right]\) (Đk : x khác 0 ; 3 ; - 1 ; 1
\(=\frac{\left(a+2\right)\left(a-1\right)}{a^n\left(a-3\right)}.\left[\frac{4\left(a+1\right)}{4\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{3}{a\left(a-1\right)}\right]\)
\(=\frac{\left(a+2\right)\left(a-1\right)}{a^n\left(a-3\right)}.\left[\frac{1}{a-1}-\frac{3}{a\left(a-1\right)}\right]\)
\(=\frac{\left(a+2\right)\left(a-1\right)}{a^n\left(a-3\right)}.\frac{a-3}{a\left(a-1\right)}=\frac{a+2}{a^{n+1}}\)
Đặt \(x^2+1=a\)
\(\Rightarrow\frac{a}{120}+\frac{a+1}{119}+\frac{a+2}{118}=3\)
\(\Leftrightarrow21241a=2506200\)
\(\Leftrightarrow a=\frac{2506200}{21241}\)
\(\Rightarrow x=.....\)
\(\frac{x^2}{120}+\frac{x^2+1}{119}+\frac{x^2+2}{118}=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{120}+1+\frac{x^2+1}{119}+1+\frac{x^2+2}{118}+1=6\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2+120}{120}+\frac{x^2+120}{119}+\frac{x^2+120}{118}=6\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+120\right)\left(\frac{1}{120}+\frac{1}{119}+\frac{1}{118}\right)=6\)
\(\Leftrightarrow x^2+120=\frac{6}{\frac{1}{120}+\frac{1}{119}+\frac{1}{118}}\)
\(\Leftrightarrow x^2=\frac{6}{\frac{1}{120}+\frac{1}{119}+\frac{1}{118}}-1\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{\frac{6}{\frac{1}{120}+\frac{1}{119}+\frac{1}{118}}-1}\\x=-\sqrt{\frac{6}{\frac{1}{120}+\frac{1}{119}+\frac{1}{118}-1}}\end{cases}}\)
xét tam giác GEC và tam giác ABC
có chung chiều cao hạ từ C xuống AB
EC = 1/2 AC => diện tích GEC = 1/2 diện tích ABC
Xet tam giac GEC va tam giac ABC
Co chung chieu cao ha tu C xuong AB
EC= 1/2 AC => dien h GEC= 1/2 dien h ABC
a) Xét \(\Delta\)AMC: OQ//AC (O\(\in\)AM; Q\(\in\)MC) => \(\frac{OM}{AM}=\frac{MQ}{MC}\)(1)
Tương tự, ta có: \(\frac{OM}{AM}=\frac{MJ}{BM}\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{OM}{AM}=\frac{MQ+MJ}{BM+MC}=\frac{JQ}{BC}\)(Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
Xét \(\Delta\)BNC: OQ//NC (O\(\in\)BN; Q\(\in\)BC) => \(\frac{ON}{BN}=\frac{QC}{BC}\)
Tương tự: \(\frac{OK}{CK}=\frac{BJ}{BC}\)
Vây \(\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OK}{CK}=\frac{JQ}{BC}+\frac{QC}{BC}+\frac{BJ}{BC}=\frac{BC}{BC}=1\)(đpcm).
b) Đề sai thì phải, theo mình nên sửa \(\frac{IJ}{AC}\)thành \(\frac{IJ}{AB}\)
Ta có: \(\frac{PQ}{AC}=\frac{BQ}{BC}\) và \(\frac{IJ}{AB}=\frac{CJ}{BC}\)(Hệ quả ĐL Thales)
\(\frac{EF}{BC}=\frac{OE}{BC}+\frac{OF}{BC}\)
Lại có: \(\frac{OE}{BC}=\frac{OK}{KC}=\frac{BJ}{BC}\); \(\frac{OF}{BC}=\frac{ON}{BN}=\frac{QC}{BC}\)
\(\Rightarrow\frac{EF}{BC}=\frac{BJ+QC}{BC}\)
\(\Rightarrow\frac{EF}{BC}+\frac{PQ}{AC}+\frac{IJ}{AB}=\frac{BJ+QC+BQ+CJ}{BC}=\frac{BJ+JQ+CJ+JQ+BJ+CJ}{BC}\)
\(=\frac{2BJ+2JQ+2CJ}{BC}=\frac{2.\left(BJ+JQ+CJ\right)}{BC}=\frac{2BC}{BC}=2\)
Vậy: \(\frac{EF}{BC}+\frac{PQ}{AC}+\frac{IJ}{AB}=2\)(đpcm).
AC), PQ//AC (P thuộc AB, Q thuộc BC)
, IJ//AB (I thuộc AC, J thuộc BC
).
.
( Hình của mk ko chính xác lắm nha bn )
Ta có :
\(AD=2AF\) ( F là trung điểm của AD )
\(AD=2AB\)
\(\Rightarrow AB=AF\)
BC = 2BE ; AD = 2AF ; AD = BC
=> BE = AF
Xét tứ giác AFEB ,có :
BE = AF ; BE // AF ( AD // BC )
=> AFEB là hình bình hành
Mà AB = AF
=> AFEB là hình thoi
=> \(AE\perp BF\)
b, AFEB là hình thoi
=> \(\widehat{FAB}=\widehat{BEF}=60^0\) và \(BE=EF\)
ΔBEF ,có : BE = EF => ΔBEF là cân tại E
mà \(\widehat{BEF}=60^0\)
=> ΔBEF là tam giác đều
\(\Rightarrow\widehat{FBE}=\widehat{FEB}\)
Mà \(\widehat{FEB}=\widehat{ECD}\) ( EF // CD // AB )
\(\Rightarrow\widehat{FBE}=\widehat{DCE}\)
=> BDCE là hình thang cân
c, C/m tương tự tứ giác AFEB , ta có : FDCE là hình thoi
=> DE là phân giác của góc FDC
=> \(\widehat{FDE}=\dfrac{1}{2}\widehat{FDC}=\dfrac{1}{2}.120^0=60^0\)
Xét ΔADM ,có :
\(\widehat{DAM}=\widehat{ADM}=60^0\)
=> ΔADM đều
=> DB là đường trung tuyến đồng thời là đường cao
\(\Rightarrow\widehat{DBM}=90^0\) (1)
Xét tứ giác BMCD ,có :
BM = CD ( BM = AB = CD )
BM // CD ( AB // CD )
=> BMCD là hình bình hành (2)
Từ (1)(2) => BMCD là hình chữ nhật
=> BC cắt MD tại trung điểm mỗi đường
Mà E là trugn điểm của BC
=> E là trugn ddiemr của DM
=> Ba điểm M , E, D thẳng hàng