d) Xét tam giác AHC có :

AP = PH ( gt)

QH = QC ( gt)

⇒ PQ là đường TB của tam giác AHC

⇒ PQ // AC

Mà : AC ⊥ AB

⇒ PQ ⊥ AB

Xét tam giác ABQ có :

AH ⊥ BQ ( gt)

PQ ⊥ AB ( cmt)

⇒ P là trực tâm

⇒ BP ⊥ AQ

Ý cuối

Chứng minh tam giác APM đồng dạng tam giác BPH (g-g) : Tự chứng minh

\(\Rightarrow\dfrac{PM}{PH}=\dfrac{AP}{PB}\left(tsdd\right)\)

\(\Rightarrow PM.PB=PH.AP\)

Mà PH=AP=\(\dfrac{1}{2}AH\)(P là trung điểm AH)

Nên \(PM.PB=\dfrac{1}{2}AH.\dfrac{1}{2}AH=\dfrac{1}{4}AH^2\)

\(\Rightarrow AH^2=PM.PB\)

a)

Xét \(\Delta DAC\) và \(\Delta EAC\) có :

AD = AC

\(\widehat{DAC}=\widehat{EAB}\left(=60^0+\widehat{ABC}\right)\)

AB = AE

=>  \(\Delta DAC\) = \(\Delta EAC\) (( c.g.c )

=> DC = BE

b) Gọi giao điểm của BC và DE là K

Ta c/m được \(\Delta DBK=\Delta ECK\left(g.c.g\right)\)

=> KB = KC

Tiếp tục c/m được \(\Delta AKB=\Delta AKC\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{BAK}=\widehat{CAK}\)

=> AK à tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)

=> đpcm

Cm cố định ak bn

Lời giải:

a)
Để pt luôn có nghiệm thì \(\Delta'=1^2-m\geq 0\Leftrightarrow 1-m\geq 0\Leftrightarrow m\leq 1\)

Áp dụng định lý Viet, với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của pt ( chưa xét tính phân biệt) thì: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2\\ x_1x_2\end{matrix}\right.(*)\)

b) Nếu pt có hai nghiệm cùng là số âm thì \(x_1+x_2< 0\Leftrightarrow 2< 0\) (vô lý)

Do đó pt không thể có hai nghiệm cùng là số âm.

c) Sử dụng điều kiện $(*)$

Nếu \(x_1-2x_2=5\Leftrightarrow 3x_1-2(x_1+x_2)=5\)

\(\Leftrightarrow 3x_1-4=5\Rightarrow 3x_1=9\Rightarrow x_1=3\)

\(\Rightarrow x_2=2-x_1=2-3=-1\)

Khi đó: \(x_1x_2=3(-1)=-3\Leftrightarrow m=-3\) (t/m)

Vậy \(m=-3\)

x^2 -2x +m=0

x^-2x+1=1-m

(x-1)^2=1-m

a)vt >=0=>vp>=0=>1-m>=0

m<=1

b)dk(a)<=>|x-1|=can(1-m)

x1=1+can(1-m)

x2=1-can(1-m)

co can (1-m)>=0=>x>=0 moi m theo dk (a)

c)

x1-2x2=5

(x1+x2)-3x2=5

<=>3x2=-3

x2=-1

kq(b) x1>=0

=>x2=1-can(1-m)

<=>can(1-m)=2

1-m=4

m=-3

Lời giải:

Kẻ đường cao $AE$ và $BF$ của hình thang. Ký hiệu \(DE=a, EF=b, FC=c\)

Có \(\widehat{EAB}=180^0-\widehat{AEF}=180^0-90^0=90^0\). Như vậy tứ giác $ABFE$ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật

\(\Rightarrow AB=EF=b\)

\(\Rightarrow AB+CD=2b+a+c=15\)

Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông:

\(AE^2+EC^2=AC^2\Leftrightarrow AE^2+(b+c)^2=144(1)\)

\(BF^2+DF^2=BD^2\Leftrightarrow BF^2+(a+b)^2=81(2)\)

Lấy \((1)-(2)\Rightarrow (b+c-a-b)(a+2b+c)=63\) (do \(AE=BF\) )

\(\Leftrightarrow (c-a).15=63\Rightarrow c-a=4,2\)

\(\Rightarrow 15=a+2b+c=a+2b+a+4,2\)

\(\Rightarrow b+a=5,4\)

Thay vào (2) suy ra: \(BF^2=\frac{1296}{25}\Rightarrow BF=7,2\)

\(S_{ABCD}=\frac{(AB+CD).BF}{2}=\frac{15.7,2}{2}=54\)

Không có điều kiện \(x\in Z\)không có thì bài này phải giải theo phương pháp GTLN-GTNN rồi tìm khoảng giá trị của y

Lời giải:

Để \(\frac{4x+3}{x^2+1}\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow 4x+3\vdots x^2+1(1)\)

\(\Rightarrow x(4x+3)\vdots x^2+1\)

hay \( 4x^2+3x\vdots x^2+1\)

\(\Leftrightarrow 4(x^2+1)+3x-4\vdots x^2+1\)

\(\Leftrightarrow 3x-4\vdots x^2+1\)

\(\Rightarrow 12x-16\vdots x^2+1(*)\)

Từ \((1)\Rightarrow 12x+9\vdots x^2+1(**)\)

\((**)-(*)\Rightarrow 25\vdots x^2+1\Rightarrow x^2+1\in \text{Ư}(25)\)

Mà \(x^2+1\geq 1, \forall x\in\mathbb{Z}\Rightarrow x^2+1\in\left\{1;5;25\right\}\)

\(\Rightarrow x^2\in\left\{0;4;24\right\}\)

Vì \(x\in\mathbb{Z}\Rightarrow x\in\left\{0;\pm 2\right\}\)

Vậy.........

Vì \(0\le a,b,c\le1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le a+b+c=2\)

Lời giải:

Vì \(0\leq a,b,c\leq 1\Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow (ab-a-b+1)(c-1)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow abc-(ab+bc+ac)+(a+b+c)-1\leq 0\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq abc+a+b+c-1=abc+1\geq 1\) do \(abc\geq 0\)

Ta có:

\(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=4-2(ab+bc+ac)\)

Mà \(ab+bc+ac\geq 1\) (cmt) nên \(a^2+b^2+c^2=4-2(ab+bc+ac)\leq 2\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(1,1,0)\) hoặc hoán vị của chúng.

VC câu hỏi hay: Cauchy-Schwarz: \(N=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)Dấu "=" khi \(a=b=c\)

Hung nguyen Khoa học đã chứng minh...

mấy người như a nên đc bảo tồn

Gọi x km là chiều dài quãng đường AB (x>0).
Thời gian dự định đi: \(\dfrac{x}{48}\) (h).
Độ dài quãng đường còn phải đi: x - 48 (km)
Vận tốc mới: 48 + 6 = 54 (km/h)
Thời gian còn phải đi cho kịp dự tính:\(\dfrac{x-48}{54}\) (h)
10 phút = \(\dfrac{1}{6}\) (h)
Vì khi tăng vận tốc ô tô đã đến B kịp dự định nên
1 + \(\dfrac{1}{6}+\dfrac{x-48}{54}=\dfrac{x}{48}\)
\(\Leftrightarrow x=120\) (t/m)
=> Quãng đường AB dài 120 km

Gọi t là thời gian người đó đi từ A đến B

Ta có phương trình:

48t= 48+54(t-1-1/6)

Từ phương trình trên bạn sẽ tính được thời gian là 2.5(h).

Từ đó bạn sẽ dễ dàng tính được quãng đường AB bằng 120km

Gọi x là quãng đường AB (x>0)(km)

-ta có: t1 \(+\) t2 =7 (1)

\(\dfrac{2}{3}\)quãng đường AB là \(\dfrac{2}{3}x\)

\(\Rightarrow t1=\dfrac{2}{3}x\div40=\dfrac{2x}{3}\times\dfrac{1}{40}=\dfrac{2x}{120}=\dfrac{x}{60}\)(2)

\(\dfrac{1}{3}\)quãng đường AB là \(\dfrac{1}{3}x\)

\(\Rightarrow t2=\dfrac{1}{3}x\div50=\dfrac{x}{3}\times\dfrac{1}{50}=\dfrac{x}{150}\)(3)

-thay (2)và(3) vào (1) ta có PT:

\(\dfrac{x}{60}+\dfrac{x}{150}=7\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{5x}{300}+\dfrac{2x}{300}=\dfrac{2100}{300}\)

\(\Leftrightarrow5x+2x=2100\)

\(\Leftrightarrow7x=2100\)

\(\Leftrightarrow x=300\)

Vậy quãng đường AB là 300km

chúc bạn học tốt!

Gọi quãng đường AB là x(km) (x>0)

⇒\(\dfrac{2}{3}\) quãng đường AB là \(\dfrac{2}{3}x\left(km\right)\)

⇒ \(\dfrac{1}{3}\)quãng đường còn lại là \(\dfrac{1}{3}x\left(km\right)\)

Thời gian xe máy đi \(\dfrac{2}{3}\) quãng đường AB với vận tốc 40 km/h là : \(\dfrac{2}{3}x:40=\dfrac{x}{60}\left(h\right)\)

Thời gian xe máy đi \(\dfrac{1}{3}\) quãng đường còn lại với vận tốc 50 km/h là :

\(\dfrac{1}{3}x:50=\dfrac{x}{150}\left(h\right)\)

Vì thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là 7 h

\(\dfrac{x}{60}+\dfrac{x}{150}=7\)

\(\Leftrightarrow x\left(\dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{150}\right)=7\)

\(\Leftrightarrow x.\dfrac{7}{300}=7\)

\(\Leftrightarrow x=300\) ( t/m )

Vậy độ dài quãng đường AB là 300 km

Lời giải:

Trước tiên, pt có hai nghiệm pb khi mà:

\(\Delta'=(m-1)^2-(2m-3)>0\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+4>0\Leftrightarrow (m-2)^2>0\Leftrightarrow m\neq 2\)

Áp dụng định lý Viete cho pt bậc 2:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m-1)\\ x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\)

\(=4(m-1)^2-4(2m-3)\)

\(=4m^2-16m+16=(2m-4)^2\)

\(\Rightarrow |x_1-x_2|=|2m-4|\)

Để \(|x_1-x_2|=5\Rightarrow |2m-4|=5\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} m=\frac{9}{2}\\ m=\frac{-1}{2}\end{matrix}\right.\) (đều thỏa mãn)

Vậy...........

xét pt \(x^2-2\left(m-1\right)x+2m-3=0\) (1)

từ (1) có \(\Delta'=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-\left(2m-3\right)\)

\(\Delta'=m^2-2m+1-2m+3\)

\(\Delta'=m^2-4m+4\)

\(\Delta'=\left(m-2\right)^2>0\forall m\ne2\)

\(\Rightarrow pt\left(1\right)\) luôn có 2 nghiệm phân biệt \(\forall m\ne2\)

có vi - ét \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1.x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)

theo bài ra ta có \(\left|x_1-x_2\right|=5\)

\(\Leftrightarrow\left(\left|x_1-x_2\right|\right)^2=25\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=25\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2-25=0\)

\(\Leftrightarrow\left[2\left(m-1\right)\right]^2-4\left(2m-3\right)-25=0\)

\(\Leftrightarrow4\left(m^2-2m+1\right)-8m+12-25=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-8m-13=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-16m-9=0\) \(\left(2\right)\)

từ (2) có \(\Delta'=\left(-8\right)^2-4.\left(-9\right)=64+36=100>0\Rightarrow\sqrt{\Delta'}=10\)

vì \(\Delta'>0\) nên pt (2) có 2 nghiệm phân biệt

\(m_1=\dfrac{8+10}{4}=\dfrac{9}{2};m_2=\dfrac{8-10}{4}=\dfrac{-1}{2}\) ( TM \(\forall m\ne2\))

vậy \(m_1=\dfrac{9}{2};m_2=\dfrac{-1}{2}\) là các giá trị cần tìm