a) \(A=x^2+6x+15\)

\(=x^2+6x+9+6\)

\(=\left(x+3\right)^2+6\)

Vì \(\left(x+3\right)^2\ge0\forall x\) nên \(\left(x+3\right)^2+6>0\forall x\)

Vậy ...

b) \(B=4x^2+4x+11\)

\(=4x^2+4x+1+10\)

\(=\left(2x+1\right)^2+10>0\forall x\) (trình bày như trên)

Vậy ...

a) \(-9x^2+12x-15\)

\(=-9x^2+12x-4-11\)

\(=-\left(3x-2\right)^2-11\)

Vì \(-\left(3x-2\right)^2\le0\forall x\) nên \(-\left(3x-2\right)^2-11< 0\forall x\)

Vậy ...

b) \(-5-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\)

\(=-x^2-x+2-5\)

\(=-x^2-x-3\)

\(=-x^2-x-\dfrac{1}{4}-\dfrac{11}{4}\)

\(=-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{11}{4}>0\forall x\)

Vậy ...

Tiếng Anh đăng ở toán cơ à :v

Cho mình hỏi tí, thi toán này phải giải bằng tiếng anh à?

a) và b) thì dễ rồi nhé !!!

c)

Gọi giao điểm của OM và BN là H'

Ta có : \(\widehat{MH'B}=\widehat{EMO}=45^0\)

Xét \(\Delta BMH'\) và \(\Delta OCM\) có :

\(\widehat{H}=\widehat{C}\left(=45^0\right)\)

\(\widehat{BMH'}=\widehat{CMO}\) ( đối đỉnh )

=> \(\Delta BMH'\)~ \(\Delta OMC\) ( g . g )

Ta có tỉ số :

\(\dfrac{BM}{MH'}=\dfrac{OM}{MC}\)

Lại xét \(\Delta BMO\) và \(\Delta H'MC\) có :

\(\dfrac{BM}{MH'}=\dfrac{OM}{MC}\)

\(\widehat{BMO}=\widehat{H'MC}\) ( đối đỉnh )

=> \(\Delta BMO\)~\(\Delta H'MC\) ( c . g . c )

=> \(\widehat{OBM}=\widehat{CH'M}=45^0\)

=> \(\widehat{BH'C}=90^0\)

=> H' trùng với H

=> đfcm

Để c/m 3 điểm thẳng hàng bạn chứng minh \(\widehat{OMH}\) = 180^o nhé! Mik ko đủ năng lực để c/m cái này.

cảm ơn bạn!

x>y\(\ge\)0=>x-y>0 y+1>0

Đặt A=\(x+\dfrac{4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}=\left(x-y\right)+\dfrac{4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}+\left(y+1\right)-1\)

Áp dụng BĐT cô-si cho 2 số dương ta có:

\(\left(x-y\right)+\dfrac{4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(x-y\right)4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}}=\dfrac{4}{y+1}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: (x-y)²(y+1)²=4

<=>(x-y)(y+1)=2(do là các số dương)

=>A\(\ge\dfrac{4}{y+1}+\left(y+1\right)-1\)

Áp dụng cô-si tiếp ta được:

\(\dfrac{4}{y+1}+\left(y+1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{4}{y+1}\left(y+1\right)}=4\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (y+1)²=4 <=>y+1=2<=>y=1

=>A\(\ge4-1=3\)

Dấu "=" xảy ra khi (x-y)(y+1)=2 và y=1

<=>x=2 y=1

AM-GM chọn điểm rơi thôi . Có gì hay âu . Nếu hóc búa thì thấy Cô-sy ngược dâu khó nhất

a) \(10x^2-29x+10\)

\(=10x^2-4x-25x+10\)

\(=2x\left(5x-2\right)-5\left(5x-2\right)\)

\(=\left(5x-2\right)\left(2x-5\right)\)

a³(c - b²) + b³(a - c²) + c³(b - a²) + abc(abc - 1)

= a³c - a³b² + ab³ - b³c² + bc³ - a²c³ + a²b²c² - abc

= a²b²c² - b³c² - (a²c³ - bc³) - (a³b² - ab³) + (a³c - abc)

= b²c²(a² - b) - c³(a² - b) - ab²(a² - b) + ac(a² - b)

= (a² - b)(b²c² - c³ - ab² + ac) = (a² - b)[c²(b² - c) - a(b² - c)] = (a² - b)(b² - c)(c² - a)

Hắc Hường , Aki Tsuki, Phùng Khánh Linh, Nhã Doanh, Trần Hoàng Nghĩa, ngonhuminh, Duy Đỗ Ngọc Tuấn, DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG, Trần Quốc Lộc, Nguyễn Thị Lan Anh, ...

hình đi bạn

Lời giải:

a)

\(f(x)=ax^2+bx\Rightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)=ax^2+bx\\ f(x-1)=a(x-1)^2+b(x-1)\end{matrix}\right.\)

Do đó:

\(f(x)-f(x-1)=x\)

\(\Leftrightarrow ax^2+bx-a(x-1)^2-b(x-1)=x\)

\(\Leftrightarrow a[x^2-(x-1)^2]+b=x\)

\(\Leftrightarrow a(2x-1)+b=x\)

\(\Leftrightarrow x(2a-1)+(b-a)=0\)

Vì đẳng thức luôn đúng với mọi $x$ nên \(\left\{\begin{matrix} 2a-1=0\\ b-a=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

b) \(f(x)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x\)

Theo phần a:

\(1=f(1)-f(0)\)

\(2=f(2)-f(1)\)

\(3=f(3)-f(2)\)

.....

\(n=f(n)-f(n-1)\)

Cộng theo vế:

\(\Rightarrow S=1+2+...+n=f(n)-f(0)=\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n-\frac{1}{2}.0^2-\frac{1}{2}.0=\frac{n(n+1)}{2}\)