Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+xy+y^2+xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)

Cần chỉ ra \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)

Ta có : \(x+y\le1\)

=> \(\left(x+y\right)^2\le1\)

=> \(\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\ge1\)( nghịch đảo )

=> \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)( nhân 4 vào cả hai vế )

=> đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> x = y = 1/2

- Tham khảo bài làm sau :

Đọc đoạn văn sau và thực hiện các yêu cầu bên dưới: "Dưới gốc tre tua tủa những mầm măng. Măng trồi lên nhọn hoắt như những mũi gai khổng lồ xuyên qua đất lũy mà trỗi dậy, bẹ măng mọc kín thân cây non, ủ kĩ như áo mẹ trùm lần trong lần ngoài cho đứa con non nớt. Ai dám bảo thảo mộc tự nhiên không có tình mẫu tử ?"

a, Tìm các trường tự vựng có trong đoạn văn trên

b, Xác định và phân tích tác dụng của các biện pháp nghệ thuật đc sử dụng trong đoạn văn:

Trong đoạn văn trên tác giả đã sử dụng biện pháp nghệ thuật:

+So sánh: - Măng trồi lên nhọn hoắt như những mũi gai khổng lồ

- Bẹ măng mọc kín thân cây non, ủ kĩ như áo mẹ trùm lần trong lần ngoài cho đứa con non nớt

+Nhân hóa: - Ai dám bảo thảo mộc tự nhiên không có tình mẫu tử ?

TD :  - Biện pháp so sánh làm cho hình ảnh trong văn bản giàu giá trị tạo hình, gợi nên nhiều cảm xúc để cho thấy hình ảnh những mầm măng, bẹ măng bao bọc lẫn nhau thiêng liêng như tình mẫu tử.

- Biện pháp nhân hóa làm cho hình ảnh thảo mộc tự nhiên trở nên sinh động, có hơi thở, có tình nghĩa giống như tình mẫu tử thiêng liêng của loài người.

Xét tam giác ABD và tam giác FBC có:

AB=FB ( cạnh tam giác đều FAB)

DB=BC ( cạnh tam giác đều DBC)

góc ABD = góc FBC ( cùng bằng góc ABC + 60 độ)

Suy ra tam giác ABD = tam giác FBC (C.G.C)

=> FC=AD

Câu c) Các bạn tự vẽ hình nhé mình chỉ giải thôi:

Kẻ tia Cx vuông góc với CC'. Vẽ D là điểm đối xứng với A qua Cx. AD giao Cx tại I.

C/m C'AIC là hcn=> Góc BAD = 90 độ

=> CC'= AI

Có: D đối xứng với D qua Cx, I là giao điểm của AD và Cx

=> I là trung điểm của AD=> 2AI=AD

=> 2CC'=AD.

=> AB²+ AD²= BD²( Đlí PTG)

Ta có: Với 3 điểm B,C,D thì sẽ luôn có:  (BD+CD)²>= BD²

Có: AB²+ AD²=BD²

=> (BD+CD)²>= AB²+ AD²

=>  (BD+CD)²>= AB²+ (2CC')²

=> (BD+CD)²>= AB²+ 4CC'

=>  (BD+CD)²- AB²>= 4CC'(1)

CMTT=> (AB+AC)²-BC²>= 4AA'(2)

            và (AB+BC)²- AC²>= 4BB'(3)

Từ (1),(2) và (3) ta chứng minh đc:

(AB+BC+AC)²>= 4(AA'²+BB'²+CC'²)

=> GTNN bằng 4 <=> BC=AC; AC=AB; AB=BC<=> AB=BC=AC

=> GTNN là 4 khi tam giác ABC đều.

\(A=4x^2+y^2+xy+4x+2y+3=4x^2+x\left(y+4\right)+\frac{\left(y+4\right)^2}{16}+y^2-\frac{\left(y+4\right)^2}{16}+2y+3\)\(=\left(2x+\frac{y+4}{4}\right)^2+\frac{16y^2-y^2-8y-16+32y+48}{16}=\left(2x+\frac{y+4}{4}\right)^2+\frac{15y^2+24y+32}{16}\)\(=\left(2x+\frac{y+4}{4}\right)^2+\frac{15\left(y^2+\frac{24}{15}y+\frac{16}{25}\right)+\frac{112}{5}}{16}=\left(2x+\frac{y+4}{4}\right)^2+\frac{15\left(y+\frac{4}{5}\right)^2+\frac{112}{5}}{16}\ge\frac{\frac{112}{5}}{16}=\frac{7}{5}\)Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}2x+\frac{y+4}{4}=0\\y+\frac{4}{5}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{2}{5}\\y=-\frac{4}{5}\end{cases}}\)

\(B=-x^2-y^2-2xy=-\left(x+y\right)^2\le0\)

Đẳng thức xảy ra khi x = -y

a) Ta có : 2005.2007 = (2006 - 1)(2006 + 1) = 2006² - 1² = 2006² - 1 ( cái khúc này sửa : 2005.2001 thành 2005.2007)

Mà B = 2006²

=> 2006² - 1 < 2006² 

=> A < B

b) Ta có : B = (2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)

                B =  (2 - 1)(2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)

                B = (2² - 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)

                B = (2⁴ - 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)

                B = (2⁸ - 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1) = (2¹⁶ - 1)(2¹⁶ + 1) = 2³² - 1

Mà C = 2³²

=> B < C 

c) Tương tự như câu b

Không rút gọn được nữa

a) x²y³ - 1/2x⁴y⁸ = x²y³( 1 - 1/2x²y⁵ )

b) a²b⁴ + a³b - abc = ab( ab³ + a² - c )

c) 7x( y - 4 )² - ( y - 4 )³ = ( y - 4 )²( 7x - y + 4 )

d) -x²y²z - 6x³y - 8x⁴z² - x²y²z² = -x²( y²z + 6xy + 8x²z² + y²z² )

e) x³ - 4x² + x = x( x² - 4x + 1 )