\(4\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+x+y\right)-3x^2y^2=4\left(1+x+y+xy\right)\left(1+x+y\right)-3x^2y^2\)

\(=4\left(1+x+y\right)^2+4xy\left(1+x+y\right)+x^2y^2-4x^2y^2\)

\(=\left[2\left(1+x+y\right)+xy\right]^2-\left(2xy\right)^2=\left(2+2x+2y+xy-2xy\right)\left(2+2x+2y+xy+2xy\right)\)

\(=\left(2+2x+2y-xy\right)\left(2+2x+2y+3xy\right)\)

giúp mình câu khác được ko? câu này mình biết làm òi

Ta có : \(\hept{\begin{cases}2x^2+y^2-3xy-4x+3y+2=0\\\sqrt{x^2-y+3}+\sqrt{y-x+1}=2\end{cases}}\)

Xét phương trình đầu : \(2x^2+y^2-3xy-4x+3y+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^2-xy-2x\right)+\left(-2xy+y^2+2y\right)+\left(-2x+y+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(2x-y-2\right)-y\left(2x-y-2\right)-\left(2x-y-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y-2\right)\left(x-y-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x-y-2=0\\x-y-1=0\end{cases}}\)

Từ đó thay y bởi x vào pt còn lại để tìm nghiệm.

giúp mình câu khác với

ĐKXĐ: z>0

pt<=> \(\frac{x^3+3x^2\sqrt[3]{3x-2}-12x+\sqrt{x}-\sqrt{x}-8}{x}=0\)

<=> \(x^3+3x^2\sqrt[3]{3x+2}-12x-8=0\)

<=> \(3x^2\sqrt[3]{3x-2}-6x^2+x^3-6x^2+12x-8=0\)

<=> \(3x^2\left(\sqrt[3]{3x-2}-2\right)+\left(x-2\right)^3=0\)

<=> \(3x^2\cdot\frac{3x-2-8}{\left(\sqrt[3]{3x-2}\right)^2+2\sqrt[3]{3x-2}+4}+\left(x-2\right)^3=0\)

<=> \(\left(x-2\right)\left(\frac{9x^2}{\left(\sqrt[3]{3x-2}\right)^2+2\sqrt[3]{3x-2}+4}+\left(x-2\right)^2\right)=0\)

<=> \(x=2\)( vì cái trong ngoặc thứ 2 luôn dương vs mọi x>0)

vậy x=2

Một bài làm rất hay !

Hình vẽ không được đẹp cho lắm :))

Từ kẻ đường thẳng tạo với cạnh AD một góc bằng 15 độ, cắt cạnh CD tại K. Từ đó dễ dàng suy ra góc KAN = 90 độ

Từ A lại kẻ đường thẳng vuông góc với CD tại H.

Xét tam giác AKD và tam giác AMB có AB = AD , góc BAM = góc KAD = 15 độ , góc ABM = góc ADK

=> tam giác AKD = tam giác AMB (g.c.g) => AM = AK

Áp dụng hệ thức về cạnh trong tam giác vuông, ta có : \(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{AK^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{AH^2}\)

Mà : \(AH=sin\widehat{ADH}.AD=sin60^o.AB=\frac{\sqrt{3}}{2}AB\)

\(\Rightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{4}{3AB^2}\)

Vậy \(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{4}{3AB^2}\)

\(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}\)

\(\Rightarrow a^{101}-a^{100}+b^{101}-b^{100}=0\)

\(\Rightarrow a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)=0\left(1\right)\)

• Nếu a và b cùng lớn hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều dương nên:

\(a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)>0\) không đúng với (1)

• Nếu a và b cùng nhỏ hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều âm nên:

\(a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)< 0\) không đúng với (1)

• Nếu a và b có 1 số lớn hơn hoặc bằng 1 và 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 1

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge1;b\le1\)

Ta có:

\(a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)=0\)

\(\Rightarrow a^{100}\left(a-1\right)=b^{100}\left(b-1\right)\left(2\right)\)

Lại có:

\(a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)

\(\Rightarrow a^{102}-a^{101}+b^{102}-b^{101}=0\)

\(\Rightarrow a^{101}\left(a-1\right)+b^{101}\left(b-1\right)=0\)

\(\Rightarrow a\cdot a^{100}\left(a-1\right)+b\cdot b^{100}\left(b-1\right)=0\)

\(\Rightarrow a\cdot a^{100}\left(a-1\right)-b\cdot b^{100}\left(b-1\right)=0\)

\(\Rightarrow a\cdot a^{100}\left(a-1\right)-b\cdot a^{100}\left(a-1\right)=0\)(theo (2))

\(\Rightarrow a^{100}\left(a-1\right)\left(a-b\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a-1=0\\a-b=0\end{cases}}\)(do a>0)

\(\Rightarrow a=b=1\)\(\Rightarrow P=1^{2007}+1^{2007}=2\)

<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>a≥1;b≤1

Ta có:

a100(a−1)+b100(b−1)=0

⇒a100(a−1)=b100(b−1)(2)

Lại có:

a101+b101=a102+b102

⇒a102−a101+b102−b101=0

<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>⇒a100(a−1)+b100(b−1)=0(1)

• Nếu a và b cùng lớn hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều dương nên:

a100(a−1)+b100(b−1)<0 không đúng với (1)

• Nếu a và b có 1 số lớn hơn hoặc bằng 1 và 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 1

Không mất tính tổng quát, giả sử 

<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>⇒a100(a−1)=b100(b−1)(2)

Lại có:

a101+b101=a102+b102

⇒a102−a101+b102−b101=0

<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>⇒a100(a−1)=b

Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD=CA. Gọi góc CAD, DAB, ADC lần lượt là A1, A2,D1 

Ta có 
A=A1+A2=D1+A2=B+2.A2
Theo đề bài ta có A=B+2.C

=>C=A2
Dễ dàng chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác DBA
=>AB/DB=BC/AB
Đặ BC=a ; AB=c ;Ac=b 

c/(a−b)=a/c  => c² = a(a−b)
Do các cạnh của tam giác ABC là ba STN liên tiếp và a>b nên a-b=1 hoặc a-b=2
Sau đó giải hai trường hợp đó ra nghiệm thích hợp AB=2 , AC= 3 ; BC=4

CM max tắt 

Ta có : \(\frac{OM}{AM}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}\) ; \(\frac{ON}{BN}=\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}\) ; \(\frac{OP}{CP}=\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OP}{CP}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

Áp dụng bđt Bunhiacopxki, ta có : 

\(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}=\left(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\right).\left(\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OP}{CP}\right)\ge\)

\(\ge\left(\sqrt{\frac{AM}{OM}.\frac{OM}{AM}}+\sqrt{\frac{BN}{ON}.\frac{ON}{BN}}+\sqrt{\frac{CP}{OP}.\frac{OP}{CP}}\right)^2=\left(1+1+1\right)^2=9\)

Vậy \(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\ge9\) (đpcm)

Neu đề bài trên kia là cho >_ 6 thì chứng minh thế nào

Áp dụng Bđt Cô-si ta có:

• \(a+a+\frac{b^2}{4}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{ab}\ge5\sqrt[5]{\frac{4a^2b^2}{4a^2b^2}}=5\)

\(\Rightarrow9\left(2a+\frac{b^2}{4}+\frac{4}{ab}\right)\ge45\left(1\right)\)

• \(\frac{b^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{c^3}{27}+\frac{c^3}{27}+\frac{6}{bc}+\frac{6}{bc}+\frac{6}{bc}+\frac{6}{bc}+\frac{6}{bc}+\frac{6}{bc}\ge11\)

\(\Rightarrow\frac{3b^2}{4}+\frac{2c^3}{27}+\frac{36}{bc}\ge11\left(2\right)\)

• \(\frac{c^3}{27}+a+a+a+\frac{3}{ac}+\frac{3}{ac}+\frac{3}{ac}\ge7\)

\(\Rightarrow4\left(\frac{c^3}{27}+3a+\frac{9}{ca}\right)\ge28\left(3\right)\)

Cộng 3 vế của (1),(2) và (3) ta có:

\(S\ge84\).Dấu = khi \(\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\\c=3\end{cases}}\)

Vậy Min_S=84 khi \(\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\\c=3\end{cases}}\)

dạng này tìm điểm rơi của nó là ra 

Ta thấy hàm số này chỉ có cực đại. Và bị chặn 2 đầu. Vậy đầu chặn nào bé hơn chính là min

Vì 4 - 2x² \(\ge0\)

\(-\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2}\)

Tại x = \(\sqrt{2}\) thì hàm số = \(2\sqrt{2}\)

Tại x = -\(\sqrt{2}\) thì hàm số = - \(2\sqrt{2}\)

Vậy min là - \(2\sqrt{2}\)tại x = - \(\sqrt{2}\)