Ta có

\(\frac{1+m^2}{1+n^2}=1+m^2-\frac{n^2\left(1+m^2\right)}{1+n^2}\le1+m^2-\frac{n^2\left(1+m^2\right)}{2}\)

Tương tự ta có 

\(\frac{1+n^2}{1+p^2}\le1+n^2-\frac{p^2\left(1+n^2\right)}{2}\)

\(\frac{1+p^2}{1+m^2}\le1+p^2-\frac{m^2\left(1+p^2\right)}{2}\)

\(\Rightarrow A\le3+m^2+n^2+p^2-\frac{n^2\left(1+m^2\right)+p^2\left(1+n^2\right)+m^2\left(1+p^2\right)}{2}\)

\(=\frac{m^2+n^2+p^2-\left(m^2N^2+n^2p^2+p^2m^2\right)}{2}+3\)

\(\le\frac{m^2+n^2+p^2+2\left(mn+np+pm\right)}{2}+3\)

\(=\frac{\left(m+n+p\right)^2}{2}+3=\frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}\)

\(a,b,c\in\left[0,1\right]\) do đó \(a^2+b^2+c^2\le a+b+c=1\)

Ta có: \(T=\text{∑}\left(a^2+1-\frac{b^2a^2+b^2}{1+b^2}\right)\)\(\le\text{∑}a^2+3-\text{∑}\frac{b^2a^2+b^2}{2}\)

\(=3+\frac{\text{∑}a^2-\text{∑}a^2b^2}{2}\le3+\frac{1}{2}\le\frac{7}{2}\)

Điều kiện \(\hept{\begin{cases}2+x\ge0\\2-x\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow-2\le x\le2\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2+x}=a\left(a\ge0\right)\\\sqrt{2-x}=b\left(b\ge0\right)\end{cases}\Rightarrow a^2+b^2=4}\)thì

\(1PT\Leftrightarrow\frac{a^2}{\sqrt{2}+a}+\frac{b^2}{\sqrt{2}-b}=\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}a^2+\sqrt{2}b^2-a^2b+ab^2=2\sqrt{2}-2b+2a-\sqrt{2}ab\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{2}-a^2b+ab^2+2b-2a+\sqrt{2}ab=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(2+ab\right)+ab\left(b-a\right)+2\left(b-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(2+ab\right)+\left(b-a\right)\left(2+ab\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2+ab\right)\left(\sqrt{2}+b-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a-b=\sqrt{2}\)(vì 2 + ab > 0)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}=\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow4-2\sqrt{4-x^2}=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4-x^2}=1\)

\(\Leftrightarrow x^2=3\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{3}\\x=-\sqrt{3}\left(l\right)\end{cases}}\)

kết quả đúng 

Điều kiện \(\hept{\begin{cases}a,b,c\ge0\\b\le a+c\end{cases}}\)

\(\sqrt{a-b+c}=\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}\Leftrightarrow a-b+c=a+b+c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}\)

\(\Leftrightarrow b-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(b-\sqrt{ab}\right)+\left(-\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow1\orbr{\begin{cases}a=b\:va\:c\ge0\\c=b\:va\:a\ge0\end{cases}}\)

Vì đây là toán casio nên được phép đùng máy tính để giải. Gợi ý bạn cách giải:

Ta tìm phần nguyên của \(\sqrt{260110}\)là 510. 

Ta tính 260110 - 510² = 10

Vì y là số nguyên dương nhỏ nhất để cho 

260110 - 5y là 1 số chính phương nên

5y = 10  => y = 2

=> x = 8

Bài này có dùng mode 7(TABLE) đc k nhỉ? alibaba nguyễn

Ta dễ dàng chứng minh được tam giác AKH đồng dạng tam giác ACB (g.g)

=> \(\frac{AH}{AB}=\frac{AK}{AC}\Rightarrow AH.AC=AK.AB\)             (*)

Vì tam giác ADC và tam giác AEB lần lượt nội tiếp các đường tròn đường kính AC và AB nên là các tam

giác vuông, đồng thời các đường cao tương ứng là DH và EK

Áp dụng hệ thức về cạnh trong tam giác vuông được \(AD^2=AH.AC\) , \(AE^2=AK.AB\)

Từ  (*) ta suy ra \(AD^2=AE^2\Rightarrow AD=AE\)

Vậy tam giác ADE là tam giác cân tại A. (đpcm)

bài này dễ mà

Xét phương trình (1) ta có

\(2x^2-y^2+xy-5x+2=\sqrt{y-2x+1}-\sqrt{3-3x}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(2x-y\right)-\left(x+y\right)-2\left(2x-y\right)+2=\sqrt{y-2x+1}-\sqrt{3-3x}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(2x-y-1\right)=\sqrt{y-2x+1}-\sqrt{3-3x}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{y-2x+1}=a\left(a\ge0\right)\\\sqrt{3-3x}=b\left(b\ge0\right)\end{cases}\Rightarrow a^2-b^2=x+y-2}\)thì ta có

\(PT\Leftrightarrow-a^2\left(a^2-b^2\right)=a-b\)

\(\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(a^3+a^2b+1\right)=0\)

Ta thấy là \(\left(a^3+a^2b+1\right)>0\)

\(\Rightarrow a=b\)

\(\Leftrightarrow y-2x+1=3-3x\)

\(\Leftrightarrow y=2-x\)

Thế vào pt (2) ta được

\(x^2-2+x-1=\sqrt{4x+2-x+5}-\sqrt{x+4-2x-2}\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-3=\sqrt{3x+7}-\sqrt{2-x}\)

Giải tiếp sẽ có được nghiệm \(\hept{\begin{cases}x=-2\\y=4\end{cases}}\)

phương trình (1) tách như sau:

(x+y)(2x−y)−(x+y)−2(2x−y)+2=√y−2x+1−√3−3x⇔(x+y−2)(2x−y−1)=√y−2x+1−√3−3x↔{√y−2x+1=a(a≥0)√3−3x=b(b≥0)⇒a2−b2=x+y−2;−a2=2x−y−1⇒(a2−b2)(−a2)=a−b⇔(a−b)(−a3−a2b−1)=0⇔a=b(−a3−a2b−1<0;a≥0;b≥0)→a=b⇔y−2x+1=3−3x⇔y=2−x(x+y)(2x−y)−(x+y)−2(2x−y)+2=y−2x+1−3−3x⇔(x+y−2)(2x−y−1)=y−2x+1−3−3x↔{y−2x+1=a(a≥0)3−3x=b(b≥0)⇒a2−b2=x+y−2;−a2=2x−y−1⇒(a2−b2)(−a2)=a−b⇔(a−b)(−a3−a2b−1)=0⇔a=b(−a3−a2b−1<0;a≥0;b≥0)→a=b⇔y−2x+1=3−3x⇔y=2−x

thế vaò (2) là ok

k cho mình nhé xin các bạn đó cho mình 1 cái có hại gì đến các bạn đâu

Gọi các điểm thỏa mãn điều kiện có tọa độ là \(\left(a;0\right)\)

Khi đó hệ sau có nghiệm nguyên:\(\hept{\begin{cases}a-2y=3\\a-3y=2\\x-5y=-7\end{cases}\Rightarrow\frac{a-3}{2};\frac{a-2}{3};\frac{a+7}{5}}\) nguyên.

TH1: \(a\ge0.\)

\(\frac{a-3}{2}\in Z\) nên a lẻ; \(\frac{a+7}{5}\in Z\Rightarrow\) a chia 5 dư 3. Kết hợp hai điều kiện trên thì a có tận cùng là 3.

Khi đó a - 2 có tận cùng là 1. Vậy để \(\frac{a-2}{3}\in Z\) thì a - 2 = 3^4k \(\left(k\in N;k\ge1\right)\)

Vậy a = 2 +3^4k \(\left(k\in N;k\ge1\right)\)

TH2: a < 0

\(\frac{a-3}{2}\in Z\Rightarrow\)- a là số tự nhiên lẻ. \(\frac{a+7}{5}\in Z\Rightarrow\)  -a chia 5 dư 2. Vậy -a có tận cùng là 7, vậy a có tận cùng là 7.

Vậy thì a - 2 có tận cùng là 9. Vậy a - 2 = -3^4k+2 \(\left(k\in N;k\ge0\right)\)

Hay a = 2 - 3^4k+2 \(\left(k\in N;k\ge0\right)\)

Tóm lại các điểm thỏa mãn điều kiện của đề bài sẽ có tọa độ là \(\left(2+3^{4k};0\right)\) với \(\left(k\in N;k\ge1\right)\) hoặc \(\left(2-3^{4k+2};0\right)\) với \(\left(k\in N;k\ge0\right)\)

Bài này tương tự như bài cô đã chứng minh. 

Gọi các điểm thỏa mãn yêu cầu có tọa độ \(\left(0;b\right)\)

Khi đó hệ sau có nghiệm nguyên \(\hept{\begin{cases}x+2b=6\\2x-3b=4\end{cases}\Rightarrow6-2b;\frac{4+3b}{2}\in Z.}\)

b nguyên nên 6 - 2b nguyên là hiển nhiên. Để \(\frac{4+3b}{2}\in Z\) thì b = 2k.

Vậy các điểm thỏa mãn sẽ có tọa độ là (0;2k)  (\(k\in Z\) ).

cái này dễ mỗi tội tớ k biết làm

\(\sqrt{x^2+a^2}=t>=IaI\); t^2=x^2+a^2

\(t-\frac{5a}{t}=x\) TH1. (x>=0 (*)

\(t^2-10a+\frac{25a^2}{t^2}=x^2=t^2-a^2\)

\(25a^2\cdot\left(\frac{1}{t}\right)^2+a^2-10a=0\)

\(t^2=\frac{25a^2}{10a-a^2}=0\) 

\(x^2=\frac{25a}{\left(10-a\right)}-a^2\)

sau do Bien luan theo dk ton tai nghiem  

x>=0; t>=IaI

TH2. x<0  (*) doi dau lai 

Dai qua moi roi

cứ n hân chéo lên thôi bạn 

ĐKXĐ: x#0

Ta có: \(T=8x^2-4x+\frac{1}{4x^2}+15\)

<=> \(T=\left(4x^2+\frac{1}{4x^2}\right)+\left(4x^2-4x+1\right)+14\)

Áp dụng BĐT \(a+\frac{1}{a}\ge2\)cho số a thuộc N*,ta có:

\(T\ge2+\left(2x-1\right)^2+14\)

=> Min T=16 khi và chỉ khi \(x=\frac{1}{2}\)

\(8x^2-4x+\frac{1}{4x^2}+15\)

\(=\left(4x^2-4x+1\right)+\left(4x^2-2+\frac{1}{4x^2}\right)+15-1+2\)

\(=4\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(2x-\frac{1}{2x}\right)^2+16\ge16\)

Vậy GTNN là 16 đạt được khi x = \(\frac{1}{2}\)