Ta có:

\(\frac{\sqrt{5abc}}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{\sqrt{5abc}}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{\sqrt{5abc}}{c\sqrt{3c+2a}}\)

\(=\frac{5bc}{\sqrt{5ab\left(3ac+2bc\right)}}+\frac{5ac}{\sqrt{5bc\left(3ba+2ca\right)}}+\frac{5ab}{\sqrt{5ca\left(3cb+2ab\right)}}\)

\(\ge\frac{10bc}{5ab+3ac+2bc}+\frac{10ac}{5bc+3ba+2ca}+\frac{10ab}{5ca+3cb+2ab}\)

Đặt \(ab=x,bc=y,ca=z\)(cho dễ nhìn)

\(=\frac{10x}{2x+3y+5z}+\frac{10y}{2y+3z+5x}+\frac{10z}{2z+3x+5y}\)

\(=\frac{10x^2}{2x^2+3yx+5zx}+\frac{10y^2}{2y^2+3zy+5xy}+\frac{10z^2}{2z^2+3xz+5yz}\)

\(\ge\frac{10\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{5\left(x+y+z\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+4\left(xy+yz+zx\right)}\)

Giờ ta cần chứng minh

\(\frac{5\left(x+y+z\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+4\left(xy+yz+zx\right)}\ge3\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)(đúng)

Vậy ta có ĐPCM

alibaba nguyễn bạn trả lời đúng đấy! Nhưng để dễ hiểu hơn ta nên áp dụng tổ hợp BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz nhé!

\(\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{2000}}}}=\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{1999\sqrt{2000}}}}}\)

\(< \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{1999.2001}}}}< \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{1998.\frac{1999+2001}{2}}}}}\)

\(< \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{1998.2000}}}}< ...< \sqrt{2.\frac{3+5}{2}}\)

\(=\sqrt{2.4}=\sqrt{8}< 3\)

trời bộ bài giề này ko bít làm

Xem lại đề bài nhé b

đặt \(a=5+2\sqrt{6}\).ta sẽ chứng minh với dạng tổng quát \(\left[a^n\right]\)là 1 số tự nhiên lẻ.

ta có: \(a^n=\left(5+2\sqrt{6}\right)^n=x+y\sqrt{6}\)(x,y là các số tự nhiên) (*)

đặt \(b=5-2\sqrt{6}\Rightarrow b^n=x-y\sqrt{6}\)

\(\Rightarrow a^n+b^n=2x\)

mà \(0< b=5-2\sqrt{6}< 1\)

\(\Rightarrow0< b^n< 1\)

\(\Rightarrow2x-1< a^n=2x-b^n< 2x\)

nên \(\left[a^n\right]=2x-1\)lẻ vì x nguyên.

p/s:(*) : thử \(\left(5+2\sqrt{6}\right)^2,\left(5+2\sqrt{6}\right)^3\)đều có dạng \(A+B\sqrt{6}\)

thank nhìu nha :P

vì b,c là nghiệm của phương trình nên \(\hept{\begin{cases}b^2-ab-\frac{1}{2a^2}=0\\c^2-ab-\frac{1}{2a^2}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b^4=\left(ab+\frac{1}{2a^2}\right)^2\\c^4=\left(ac+\frac{1}{2a^2}\right)^2\end{cases}}\)

\(b^4+c^4=\left(ab+\frac{1}{2a^2}\right)^2+\left(ac+\frac{1}{2a^2}\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(ab+ac+\frac{1}{a^2}\right)^2\)

\(=\frac{1}{2}\left[a\left(b+c\right)+\frac{1}{a^2}\right]^2\)

mà theo viet : (tính delta đầu tiên nhá ): b+c=a.

\(\Rightarrow b^4+c^4\ge\frac{1}{2}\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)^2\ge2\)(AM-GM)

Dấu = xảy ra khi a=1 hoặc a=-1

^^ Lời giải hay 

Với \(n=0\Rightarrow A=0\)

Với \(n\ne0\)

Xét \(p=2\)thì ta có:

\(A=n^4+4n^3=n^2\left(n^2+4n\right)\)

Vì A là số chính phương nên 

\(\Rightarrow n^2+4n=x^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n+2\right)^2-x^2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(n+2+x\right)\left(n+2-x\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\left(n+2+x,n+2-x\right)=\left(1,4;4,1;2,2;-1,-4;-4,-1;-2-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(n,x\right)=\left(-4,0\right)\)

Xét \(p\ge3\) thì ta có \(p+1=2k+4\left(k\ge0\right)\)

\(A=n^4+4n^{2k+4}=n^4\left(1+4n^{2k}\right)\)

Vì A là số chính phương nên 

\(\Rightarrow1+n^{2k}=y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(y-n^k\right)\left(y+n^k\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(y-n^k;y+n^k\right)=\left(1,1;-1,-1\right)\)

Không có giá trị \(n\ne0\)thỏa mãn cái trên

Vậy ......

chết lộn đề , 4n^(p-1) 

B xem lại đề bài thử nhé

bài này mình cũng dò lại đề rồi mình chép đúng đấy mà không làm được nên mới nhờ giải

Cố gắng hơn nữa ah. Thế vô là thấy nó sai liền nên m không giải nữa.

Thay \(\hept{\begin{cases}a=2\\b=2\end{cases}}\) thì ta có:

\(\left(\sqrt[3]{2^4}+2^2.\sqrt[3]{2^2}+2^4\right).\frac{\left(\sqrt[3]{2^8}-2^6+2^4.\sqrt[3]{2^2}-2^2.2^2\right)}{2^2.2^2+2^2-2^8.2^2-2^4}=2^2.2^2\)

\(\Leftrightarrow1,477=16\left(sai\right)\)

Vậy đề bài cho tào lao.

Có phải m=-10 không nhỉ?
^^ 

Áp dụng vi-et ta suy ra được nghiệm là:

\(\hept{\begin{cases}x=\frac{-m-\sqrt{m^2-4n}}{2}\\x=\frac{-m+\sqrt{m^2-4n}}{2}\end{cases}}\)

Ta có: 

\(x_1=x_2^2+x_2+2\)

\(\Leftrightarrow x_1+x_2=\left(x_2+1\right)^2+1\)

\(\Leftrightarrow-m=\left(x_2+1\right)^2+1\)

Với \(\hept{\begin{cases}x_2=\frac{-m-\sqrt{m^2-4n}}{2}\\n=6-m\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow-m=\frac{\left(m-2\right)\sqrt{m^2+4m-24}+m^2-10}{2}+1\)

\(\Leftrightarrow-2m-m^2+8=\left(m-2\right)\sqrt{m^2+4m-24}\)

\(\Leftrightarrow4m^3+24m^2-144m+160=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=-10\\m=2\left(l\right)\end{cases}}\)

Tương tự cho trường hợp còn lại.