Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Đường thẳng d đi qua G cắt AB , AC lần lượt tại M,N
CMR: \(S_{\frac{ABC}{S_{AMN}}\le\frac{9}{4}}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cách giải giống câu này luôn.
Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
\(3x^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2-18x=6\)
\(\Leftrightarrow3\left(x-3\right)^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2=33\)
\(\Rightarrow3\left(x-3\right)^2\le33\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2\le11\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=\left\{0;1;4;9\right\}\)
Thế lần lược vô giải tiếp sẽ ra
Kẻ BH và DK cùng vuông góc với AI.
Ta có \(\widehat{HIB}=\widehat{KAD}\) (so le trong) nên \(\Delta HIB\sim\Delta KAD\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{BH}{DK}=\frac{BI}{AD}=\frac{BI}{BC}=\frac{1}{2}\)
Lại có: \(S_{ABM}=\frac{1}{2}.m.BH\Rightarrow BH=\frac{2b}{m}\)
Tương tự \(DK=\frac{2d}{m}\)
Suy ra d = 2b hay \(d^2=4b^2.\).
Gọi độ dài cạnh của hình vuông ABCD là a thì BI = a/2.
Xét tam giác vuông ABI, đường cao BH ta có: \(\frac{1}{BH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{BI^2}\Rightarrow\frac{1}{\left(\frac{2b}{m}\right)^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(\frac{a}{2}\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{m^2}{4b^2}=\frac{5}{a^2}\Rightarrow a^2=\frac{4.5b^2}{m^2}=\frac{4}{m^2}\left(4b^2+b^2\right)=\frac{4}{m^2}\left(d^2+b^2\right)\)
Vậy \(S_{ABCD}=\frac{4}{m^2}\left(d^2+b^2\right).\)
1.(√x -2)^2 ≥ 0 --> x -4√x +4 ≥ 0 --> x+16 ≥ 12 +4√x --> (x+16)/(3+√x) ≥4
--> Pmin=4 khi x=4
2. Đặt \(\sqrt{x^2-4x+5}=t\ge1\)1
=> M=2x2-8x+\(\sqrt{x^2-4x+5}\)+6=2(t2-5)+t+6
<=> M=2t2+t-4\(\ge\)2.12+1-4=-1
Mmin=-1 khi t=1 hay x=2
Cho tam giác ABC cân tại A có trực tâm H biết AH = 14 cm ; BH = 30 cm. Tính AB
Làm đầy đủ nha các bạn
Gọi H' đối xứng với H qua BC, D là giao điểm của AH và BC.
Dễ thấy BHCH' là hình thoi.
\(\Rightarrow\Delta ABH'\)vuông tại B
\(\Rightarrow H'B^2=H'D.H'A\)
\(\Leftrightarrow BH^2=HD\left(2HD+14\right)\)
\(\Leftrightarrow30^2=HD\left(2HD+14\right)\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}HD=18\\HD=-25\left(l\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AD=14+18=32\\BD=\sqrt{30^2-18^2}=24\end{cases}}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{32^2+24^2}=40\)
4/ Xét \(x< 8\)
\(\Rightarrow C=\frac{4}{1-\frac{4}{x}}\)
Làm nốt
Xét \(x\ge8\)
\(C=\frac{2\sqrt{x-4}}{1-\frac{4}{x}}=\frac{2x\sqrt{x-4}}{x-4}\)
Đặt \(\sqrt{x-4}=a\)
\(\Rightarrow C=\frac{2a\left(a^2+4\right)}{a^2}\ge8\)
Ta có 4S=\(a\sqrt[3]{8.8.\left(b^2+c^2\right)}+b\sqrt[3]{8.8.\left(c^2+a^2\right)}+c.\sqrt[3]{8.8\left(a^2+b^2\right)}\)
Áp dụng BĐT cô-si, ta có \(\sqrt[3]{8.8.\left(b^2+c^2\right)}\le\frac{8+8+b^2+c^2}{3}\Rightarrow a\sqrt[3]{8.8.\left(b^2+c^2\right)}\le\frac{16}{3}a+\frac{1}{3}\left(ab^2+ac^2\right)\)
Tương tự, rồi cộng lại, ta có
\(4S\le\frac{16}{3}\left(a+b+c\right)+\frac{1}{3}\left(ab^2+ac^2+bc^2+ba^2+ca^2+cb^2\right)\)
Mà \(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=6\)
\(ab^2+bc^2+ca^2+a^2b+b^2c+c^2a\le\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\le\frac{2}{3}.6.12=48\)
=> \(4S\le\frac{16}{3}.6+\frac{1}{3}.48=48\Rightarrow S\le12\)
Dấu = xảy ra <=> a=b=c=2
^_^
Làm chữa lỗi phát:v Đến giờ mới nghĩ ra(thực ra là tình cờ xem lại ngày xưa:(
\(VT=\Sigma\frac{\sqrt{\left(a^2+b^2\right)2ab}}{a^2+b^2}\ge\Sigma\frac{2ab}{a^2+b^2}+3-3\)
\(=\Sigma\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2}-3\ge\frac{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}-3\)
\(=\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)}-3=\frac{2\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)}{a^2+b^2+c^2}-3\)
\(=\frac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}-3=1\)(qed)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1; c = 0 và các hoán vị (xét sơ sơ thôi chớ xét chi tiết em không biết làm đâu:v)
P.s: Chả biết có đúng hay không nữa:(( Lần này mà không đúng thì khổ.
Qua 2 điểm B và C kẻ đường thẳng song song với đường thẳng d cắt tia AG lần lượt tại E và F
Gọi AI là trung tuyến của \(\Delta\)ABC
Theo ĐL Thales ta có các tỉ số: \(\frac{AB}{AM}=\frac{AE}{AG};\frac{AC}{AN}=\frac{AF}{AG}\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{AE+AF}{AG}=\frac{2AE+IE+IF}{AG}\)
Dễ thấy \(\Delta\)BEI=\(\Delta\)CFI (g.c.g) => IE = IF (2 cạnh tương ứng) => IE + IF = 2.IE
\(\Rightarrow\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{2AE+2IE}{AG}=\frac{2AI}{AG}=\frac{3AG}{AG}=3\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}\right)^2=9\ge4.\frac{AB.AC}{AM.AN}\)(BĐT Cauchy)
\(\Leftrightarrow\frac{AB.AC}{AM.AN}\le\frac{9}{4}\Leftrightarrow AM.AN\ge\frac{4.AB.AC}{9}\)
\(\Rightarrow S_{AMN}\ge\frac{4}{9}.S_{ABC}\Leftrightarrow\frac{S_{ABC}}{S_{AMN}}\le\frac{9}{4}\)(đpcm).
Đẳng thức xảy ra <=> \(\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}\)<=> MN // BC <=> d // BC.
1
Nhãn