hấp dẫn thật tiếc là không biết làm

Xét \(x,y\ge1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\le x^3\\y^2\le y^4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\le x^3+y^4\)(không thoả mãn)

Xét \(0< x,y\le1\)

\(\Rightarrow x^2\ge x^3;y^2\ge y^4\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge x^3+y^4\)(thoả mãn)

\(\Rightarrow0< x,y\le1\) (đúng)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3\le x^2\le x\le1\\y^3\le y^2\le y\le1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3\le x^2+y^2\le x+y\le2\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1 .

Câu a)

ĐK: \(x\geq \frac{1}{2}\)

Ta có:

\(\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow \sqrt{2x-2\sqrt{2x-1}}=2\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{(2x-1)-2\sqrt{2x-1}+1}=2\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{2x-1}-1)^2}=2\)

\(\Leftrightarrow |\sqrt{2x-1}-1|=2\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} \sqrt{2x-1}-1=2\\ \sqrt{2x-1}-1=-2\end{matrix}\right.\Rightarrow \left[\begin{matrix} \sqrt{2x-1}=3\rightarrow 5(t/m)\\ \sqrt{2x-1}=-1(\text{vô lý})\end{matrix}\right.\)

Vậy $x=5$

Câu b)

ĐK: \(x\geq \frac{5}{2}\)

Nhân cả 2 vế với \(\sqrt{2}\) ta có:

\(\sqrt{2x+4+6\sqrt{2x-5}}+\sqrt{2x-4-6\sqrt{2x-5}}=4\)

Đặt \(\sqrt{2x-5}=a(a\geq 0)\Rightarrow 2x-5=a^2\Rightarrow 2x=a^2+5\)

PT trở thành:
\(\sqrt{a^2+5+4+6a}+\sqrt{a^2+5-4-6a}=4\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{a^2+6a+9}+\sqrt{a^2-6a+1}=4\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{(a+3)^2}+\sqrt{a^2-6a+1}=4\)

\(\Leftrightarrow a+3+\sqrt{a^2-6a+1}=4\)

\(\Rightarrow \sqrt{a^2-6a+1}=1-a\)

\(\Rightarrow a^2-6a+1=(1-a)^2=a^2-2a+1\) (bình phương 2 vế)

\(\Rightarrow -6a=-2a\Rightarrow a=0\)

$a=0$ kéo theo $x=\frac{5}{2}$ (thử lại thấy t/m)

Vậy..........

Bài 2/ Không mất tính tổng quát giả sử: \(xy\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^4+z^6\le x^2+y^2+z^2\le\left(x+y\right)^2+z^2=2z^2\le2\)

Câu 3/

Dễ thấy n = 20 thì \(20^{20}\) có số lượng số lớn hơn 19 chữ số.

\(\Rightarrow n< 20\)

Xét \(n>2\) ta dễ thấy n phải là lũy thừa của 2 vì giải sử

\(n=\left(2k+1\right).2^a\)

\(\Rightarrow P=\left(n^{2a}\right)^{2a+1}+1=A.\left(n^{2a}+1\right)\)không phải là số nguyên tố.

\(\Rightarrow n=4;8;16\)

Xét \(n=1;2\) nữa là xong

PS: Thôi nghỉ không làm nữa

Lời giải:

Đặt \((\sqrt{1+x}=a; \sqrt{1-x}=b)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2=2\) và \(a^2-b^2=2x\)

Khi đó:

\(M=\frac{\sqrt{1+ab}(a^3-b^3)}{2+ab}=\frac{\sqrt{1+ab}(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2+b^2+ab}\)

\(=\sqrt{1+ab}(a-b)\)

\(=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}+ab}(a-b)=\sqrt{\frac{a^2+b^2+2ab}{2}}(a-b)\)

\(=\sqrt{\frac{(a+b)^2}{2}}(a-b)=\frac{(a+b)(a-b)}{\sqrt{2}}=\frac{a^2-b^2}{\sqrt{2}}=\frac{2x}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}x\)

\(M=\dfrac{\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}\left[\sqrt{\left(1+x\right)^3}-\sqrt{\left(1-x\right)^3}\right]}{2+\sqrt{1-x^2}}\)

\(\Leftrightarrow M=\dfrac{\sqrt{2}.\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}\left[\sqrt{\left(1+x\right)^3}-\sqrt{\left(1-x\right)^3}\right]}{\sqrt{2}.(2+\sqrt{1-x^2})}\)

\(\Leftrightarrow M=\dfrac{\sqrt{2+2\sqrt{1-x^2}}\left[(\sqrt{\left(1+x\right)})^3-(\sqrt{\left(1-x\right)})^3\right]}{\sqrt{2}.(2+\sqrt{1-x^2})}\)

\(\Leftrightarrow M=\dfrac{\sqrt{\left(1-x\right)+2\sqrt{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}+(1+x)}.\left[(\sqrt{1+x})^3-\left(\sqrt{1-x}\right)^3\right]}{\sqrt{2}.(2+\sqrt{1-x^2})}\)

\(\Leftrightarrow M=\dfrac{\sqrt{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^2}.\left(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\right)\left[\left(\sqrt{1+x}\right)^2+\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}+\left(\sqrt{1-x}^2\right)\right]}{\sqrt{2}.(2+\sqrt{1-x^2})}\)

\(\Leftrightarrow M=\dfrac{\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)\left(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\right)\left[1+x+\sqrt{1-x^2}+1-x\right]}{\sqrt{2}.(2+\sqrt{1-x^2})}\)

\(\Leftrightarrow M=\dfrac{(1+x-1+x)\left[2+\sqrt{1-x^2}\right]}{\sqrt{2}.(2+\sqrt{1-x^2})}\)

\(\Leftrightarrow M=\dfrac{2x}{\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow M=\sqrt{2}x\)

Lời giải:

Với dạng pt \(ax^2+bx+c=0\) (\(a,b,c\in\mathbb{Z})\) thì pt sẽ có 2 nghiệm:

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)

a) \(x=2+\sqrt{3}\) là một nghiệm:

Do \(\frac{-b}{2a}\in\mathbb{Q}\)\(\Rightarrow \frac{-b}{2a}=2; \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}=\sqrt{3}\)

Suy ra nghiệm còn lại là: \(x_2=2-\sqrt{3}\)

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4\\ x_1x_2=1\end{matrix}\right.\)

Theo đl Viete đảo, $x_1,x_2$ là nghiệm của: \(x^2-4x+1=0\)

b) Tương tự như phần a

Phương trình: \(x^2-12x+4=0\)

\(\text{a) }x=2+\sqrt{3}\\ \Rightarrow x-2=\sqrt{3}\\ \Rightarrow\left(x-2\right)^2=3\\ \Rightarrow x^2-4x+4=3\\ \Rightarrow x^2-4x+1=0\)

\(\text{b) }x=6-4\sqrt{2}\\ \Rightarrow x-6=-4\sqrt{2}\\ \Rightarrow\left(x-6\right)^2=32\\ \Rightarrow x^2-12x+36=32\\ \Rightarrow x^2-12x+4=0\)

Lời giải:

Đặt \((a+b,ab)=(x,y)\)

HPT \(\leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)+ab=5\\ a^2+2ab+b^2-2ab=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)+ab=5\\ (a+b)^2-2ab=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=5\\ x^2-2y=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2y=10-2x\\ x^2-2y=5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^2-(10-2x)=5\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-15=0\Leftrightarrow (x-3)(x+5)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=3\\ x=-5\end{matrix}\right.\)

Nếu $x=3$ thì $y=2$

\((a+b,ab)=(x,y)=(3,2)\) nên theo định lý Viete đảo thì $a,b$ là nghiệm của pt: \(X^2-3X+2=0\Rightarrow (a,b)=(2,1)\) và hoán vị.

Nếu $x=-5$ thì $y=10$

\((a+b,ab)=(x,y)=(-5,10)\) nên theo định lý Viete đảo thì $a,b$ là nghiệm của pt: \(X^2+5X+10=0\) (dễ thấy pt này vô nghiệm)

Vậy \((a,b)=(2,1),(1,2)\)

dương hay không âm ?

dương ạ !

Lời giải:

ĐK: \(x,y\geq 0; x+y\geq 2\)

Bình phương 2 vế thu được:

\(x+y-2=x+y+2+2\sqrt{xy}-2\sqrt{2x}-2\sqrt{2y}\)

\(\Leftrightarrow -2=2+2\sqrt{xy}-2\sqrt{2x}-2\sqrt{2y}\)

\(\Leftrightarrow 4+2\sqrt{xy}=2\sqrt{2x}+2\sqrt{2y}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y})-2-\sqrt{xy}=0\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x}(\sqrt{2}-\sqrt{y})+\sqrt{2}(\sqrt{y}-\sqrt{2})=0\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{2}-\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{2})=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} \sqrt{2}-\sqrt{y}=0\rightarrow y=2\\ \sqrt{x}-\sqrt{2}=0\rightarrow x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy \((x,y)=(2,y)\) với $y\geq 0$ bất kỳ hoặc \((x,y)=(x,2)\) với $x\geq 0$ bất kỳ.

ồ , hay đó , có mấy đề này , năm nay thi khỏi sợ rớt